1高等数学习题册参考答案说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄 错.第一册参考答案第一章 1.1 1. 图形为：. ),(2, 0 ,2101101TtTtavttavav2.B.3. ，)()(21 xfxfxf 其中 为偶函数，而 为奇函数.)(F )(21xfG4. 5.6 ,0,4,)( ,2,)2xxf .)(,)( 、xgfgf6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.1.21.（1） ；（2） ；（3） .) ,0( ,(D ,2ZkkxD)1 ,0(D2. . 3. ,4ba,0 ,1, ,)(xgf .1 , ,)(xexfg4.（1） ； （2）2,)1rcsin(2xy.02 ),( talogkD5.（1） ； （2） . 6. .xf1)(xf1)( hrVh ,2317.（1） ； （2） ； （3） .h2ax)1()1.91. .ea2.（1） 和 都是无穷间断点（属第类） ；x（2） 和 是间断点，其中：1 是可去间断点（极限为 ） （属第类） ； ,0x 210 是跳跃间断点（左极限 ，右极限 1） （属第类） ；-1 是无穷间断点（属第类） ；2（3） 为无穷间断点（属第类） ， 为跳跃间断点（属第类）0x 1x（注意： ，而 ） ；ex1lim0lime（4） 为无穷间断点（属第类） ；)( 2Zk（5） 为无穷间断点（属第类） ；,0 ,1li)(xnxf x（6） ， 为第类间断点，)(li ,01ffx 1（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳 跃间断点，不要乱叫） ； ， 为跳跃间断点（属第类）.100lim ,)(li exffx 0x3.（1） ； （2） . 4.（1） ； （2） .,ba ,ab1)(f 0)(f5.证：由 ，得 ，于是，再由)()(2ff)(f，)limlilim000 fxfxfxxx 在 点连续.f1.101. 在 内连续，则 ；又 ，则 ，故选 D.)(xf),a)(lixfb2. ； （0 是连续点） ，),2( 3( ,210)(f（-3 是可去间断点） ，58213)(3limli)lim xxxxf（2 是无穷间断点）.22(3.（1） ； （2）0； （3） （提示：原极限 ，而ae xexex)ln(im)ln(00i） ；1 )ln(i、xex 21li)1(lni0 、xxx（4） （提示：原极限 ，而21 exxe2sincol0m） ；21cos10cos10cos1)(lnsincol0 liml222 xxx注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换： 时， (1+).n（5）1； （6）不存在（左极限 ，右极限 ）.4.（1） ， ； （2） 任意， .aebab1.111.令 ，则 在 上连续，且 ，)sin()(xxf)(xf ,00)(bf.若 ，则 就是一个正根；sin1babab (afa若 ，则由零点定理， 在 内有一正根.总之， 在0)(f )(f) , )(xf内有一正根. ,32.作辅助函数 ，则 在 上连续，且 ，xfxF)()(F ,ba0)(afF)(b，由零点定理， ，使得 ，即 .0f ,0)(3.由题设： 在 上连续，设 分别为 在 上的最大值和最小)( ,1nmM、xf ,1n值，则 ，于是，由介值定理可知：fxffcmn)()(2，使得 ，即 . , ,1baxnc )()(21 nxfff4.令 ，则 在 上连续.若 ，则)(fFF ,0a0a取，命题成立；设 ，则由 ，而0)(0f)()(af)2()(afa，所以， 与 异号，于是，由零点定理可知：f F，使得 ，即 ，命题成立. ,F)()ff第一章 总复习题1. 2. . 3. .0 ,1,)(2xxf2sinx) ,(e4.证： ，对于事先给定的无论多么小的正数 ，都存在正数 ，只要Afxlim0 ，就必有 成立（这就是函数极限的“ 定义” ） ；Axf)( -又 ，对中的正数 （因这样的正数是任意的） ，必存在( li00nn自然数 ，只要 ，就必有 成立（这就是数列极限的“ 定义” ）N0xn N-.但对任何 ， ，所以这时也就有 成立.0xn 0xn把两步结合起来就是(从推回到 )：对于事先给定的无论多么小的正数 ， （由， ，从而由）必存在自然数 ，只要 ， （同时成立）就必有 成立.Afn(故由极限的定义可知： .xfn)(lim附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处 理，比如下面： （用到了 0 时，e -1）,axxexaalli1li1lim0ln00 .nnln1limli)(li 5.（1） ； （2） ； （3）5， .321 ,0 5316.提示：因 在 上连续，而 )(xfba，)(axmin,2)(, fMbdfck对 在 上用介值定理.)(f,7.（1） （提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得 ） ；2 n214（2） （提示：给极限式子乘 ，打开括号得 ，并利用一个重要结果a1 )1(a)1(4na） ； 0limqn（3） （提示：分子、分母都利用等比数列前 项和公式：1 减公比分之首项减去末ab1项乘公比，再利用（2）中的重要结果） ； （4） （提示：有理化，分子、分母再同除以 或利用重要结果：当2 n时，0 ,0b） ； .0 , ,limlim00210 mknbannaa bakmnkk（5） （提示：利用重要极限） ； t（6） （提示：分母就是 ，再拆分） ；2x2si2（7） （提示：有理化，再利用（4）中重要结果） ；ba（8）4（提示：分子减 1 加 1 并拆分，再利用等价无穷小代换： 0 时， 2） ；cos1（9） （提示：原极限 ） ；e eexxx 22 0tan)l( lim im、（10） （提示：分子因式分解，先分出个因式 并与分母约简，再分出个因2)1(n )1(式 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式 ） ；)1( 2)1(x（11） （提示：令 ，则原极限 ，再利用重要极限）.2xt2 cosinl 0ttt8.提示：把根号进行放缩得不等式： ，并注意：nnn AaaA21（会推证吗？） ，再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称 “两头夹” ）.1limn第二章 2.61.（1） ； （2） ； （3） ；)cos(2ixyy )1(2xyeyyx（4） （两端取对数） ；（5） （两端取对数或利lnx ln用一个重要公式：若 ，则 ）)(xgf )(l)()( (xfxggffy ；（6） （利用对数求导法）.)1)(2)1(1 222 xxxx 2.（1） ； （2） .3)(y )1(23324yxy53. （提示：令 ，则原方程变为)(arctn)(2xyfyx xyvu ,arctn、，两端对 求导得 ，再解出 ）.uf) yfxyv211( 4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程： ； 法线方程： .)(152y )1(25x6.（1） ； （2） . 7.（1） ； （2） . t31costa1)(tf8. （提示：第二个方程两端对 求导，得 ，解出)(ett 0dyeytd，并代入 之中再约简）.eett22txyd9.在时刻 ，甲船所走路程 ，乙船所走路程 ，ts40)(1s30)(2两船间的距离为 ，ttttd5)3(2两船间的距离增加的速度为 .10.设 ，则由木杆匀速前移知： （为常数） ，yOPxN , ctxd由题图知： ，即 ，从而 .AMNOAtxMNOAtyd可见 为常量，即 点前移的速度是匀速的.tyd2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注： 结果表明： 愈小，则 愈接近， 这就是微分的数量特征；xyd、微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .Cx3 Cx2cos1 CexCx2arctn13.（1） ； （2） ； （3） ； （4） .dad42d4.（1） ； （2） ；xd13)ln(si ttt )5(32)5ln(32（3） . 5. .x)(secta8210第二章 总复习题1.A、E.2. 在 处可导必连续.由连续有： ，求极限得：)(xf0 )0(2sin(limli00fxbexax ；由可导有： 所以， .1b,2lim)( ,1)( ,01sin(xf aff、 263.由 存在，则 存在且相等. 而 ，)0(f )0(ff、 xfxxff )0(0)(limli)0( ，)(limlilim)(00)(0)( ff xfxxffxxf要使 ，只有 .)( f4.（1） ； （2） （提示：221)xax ln12xx xeyln，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法） ；xl（3） 则 时， ； 时， ；,1 )(efxxxef1)(1)(xef时， ，则在 处不可导.1 )(lim1li)( 1 ff xex x（4） ； （5）,；tettt 222 )sinco(4sincoi （6） （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）.61)5!10010xx5. ， ，)(g 1)sin1(lim)(li( 20 xgx时， .012cosin)6. ，)0(lili( ,)( 0)1(0)( fff xxx所以，函数 在点 处可导，且 ，从而必在 处连续.)x)f评注：2、3、4（3） 、5、6 都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导 数的概念起到关键的作用， 务 必要高度