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9、 (08 分)设实数 满足 ,12,na 121 032naa证明: 在 内至少有一个实根。1cos3cos()0xx (,)答案:证明:令 ,21()iisin1Fxx则 ,()0,0,2x在 上 连 续 , 在 ( ) 内 可 导且 ,12cos3cos(21)naxax,()F1() 0n即 ,则至少存在 ,0,2x在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 (,)(02F使即 在 内至少有一个实根 。1cos3cos(21)naxax (,)10、 (04 分)求证: 。4babc在 01内 至 少 有 一 个 根答案:证明:设 ,32()()fxcxx则 ,且()0,10,1fx在 上 连 续 , 在 ( ) 内 可 导 (f即 ,则至少存在 ,在 上 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 0,1)(0f使又 ,即 32()4()fxabxcabc 0即 。32xcx 在 (,1)内 至 少 有 一 个 根11、 (06 分)求证: 。2xeabc方 程 的 根 不 超 过 三 个 ( 不 计 根 的 重 数 )答案:证明:设 ,在 连续,可导。()()f,反证,设 至少有四个不等的根 不妨设01234,x1234xx则 ,1234(),fxx分 别 在 上 用 罗 尔 定 理可得 内至少有三个不等根 , 10eabx在 ()123而 分别在 上连续,内可导,对 分别在 上应用罗()fx123,()fx2,尔定理得 从而矛盾。xe在 至 少 有 两 个 不 等 根 ,故 的根不超过三个。(0)f12、 (10 分)设 有 个不同的零点,试证明110()nnfxaxax n。()fx答案:证明: 有任意阶导数,不妨设 有如下 个零点(),fx在 ()fx1,则 ,从而01nx 1,(,ifxn分 别 在 个 区 间 上 用 罗 尔 定 理上至少有 个零点,以此类推,得到 上至少有一0(),f在 ()0!,nnfxax在个零点,则 ,而 至少有两个零点,则 ,以此类推,na(1) 1()!nnfxa1得到 ,即 。,(,i 0f13、 (08 分)设 可导,求证 的两个零点间一定 的零点。)fx()x()fx答案:证明:令 ,则 也可导,设 的两个零点为 ,则(FfeF12x,即 上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,12()0x12),x在 (,)使 ,而 ,即 ,(0ffe即 12,()0ffx则 ,的两个零点间一定 的零点 。()fx)(x14、 (08 分)设 具有一阶连续导数,在 内二阶(1,)Fffx其 中 在 1,2 (,)可导,且 ,试证明存在 。1)20f ()0F使答案:证明:因 具有一阶连续导数,在 内二阶可导,则 具(,x在 , ()Fx1,2在有一阶连续导数,在 内二阶可导,且 ,则 上满足罗尔定)(1)2(),在理的条件,则至少存在 ,使 ,又 而1(,20F (),xfxf上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,(1)0,()fF则 1)x在 12使 ,即存在 。(,()使15、 (07 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,求证:在)fx00,(0)1,(ffe内至少存在一点 ,使 。(0,1)()fe答案:证明:令 ,则 在 上连续,在 内可导,且()xFxfe()F0,1(0,1),即 在 上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,使 (0)10,1 (,),而 ,即在 内至少存在一点 ,使 。()xxfe(,)fe16、 (10 分)设 在 上连续,在 内可导,且f,abab(,)xab当 时 , (0x,证明对任意实数 存在点 ,使 。()0fab若 k)(fk答案:证明: ,则 在 上连续,在 内可导, 因()kxFxfe()F,ab,)ab()0fab则 , 在 上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,使 ()()x, (,)ab,又 而()F (),()kkxkkfefFfef即0,ke且 ,则 ,其中 。()f()fk(,)ab17、 (10 分)设抛物线 与 轴有两个交点 ,2()13yxcx(,0),()ab在 上二阶可导, ,且曲线 与 在()yfx,ab()0fabyfx213xc内有一个交点,求证在 内存在一点 ,使 。, (,)()2f答案:证明:令 ,则 在 上二阶可导,因为()Fxfyx()F,a,且 ,则 ,又 与()0fab()0ab()0b()yfx在 内有一个交点,即存在 。213yxc(,) , 0cfcFc使 , 即分别在 上利用罗尔定理,则至少存在()F与,又 上满足罗尔定理的条件, 1212,(,)()0acbF使 12(),)Fx在则至少存在 ,使 ,即 。12,a()fy18、 (6 分)设 上可微,且 ,试证明方程 最多有一个()fx在 -+)x()fx实根。答案:证明:设 ,则 在 上可导, 反证,设 有两(),Fxf()Fx-,+)()fx个不等的实根 ,即 ,则 在 上满足罗尔定理12,120(Fx12,的条件,则存在 ,使 ,即 ,这与(,)x)0()1f矛盾 ,因此方程 不可能有两个不等的实根,即最多有(),fx-+()fx一个实根。19、 (10 分)设 在 上三阶可导,且 ,试证明在()fx0,1 (0),(1)0ff内存在一点 ,使 。(0,1)c3()fcf答案:证明: 在 上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,使 x, 1(,),又 ,而 上满足罗尔定理的条件,则至少存在1()F(1)0f1()f在,使 ,令 则,03()(),0,(),FxfF即 又上满足罗尔定理的条件,则至少存在 ,即()0x在 01cc使,则 。23(),(1)cffc3()ff20、 (10 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,试证明在 内存x0,()f(0,1)在一点 ,使 。c ()2()ffc答案:证明:设 ,则 在 上连续,在(0,1)内可导,且因21Fxfx()F0,1则 ,则 在 上满足罗尔定理的条件,则存在 ,(0)f()0(), (0,1)c使 ,又 ,即()c 2()2)(xfxfx,而 ,则得 。22(1)()(cfcf0,1 )cfc21、 (9 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,对任意 有x0,1()(0)(0,1x,试证明在 内存在一点 ,使 。()0fx(,)c1()ffc答案:证明:设 ,则 在 上连续,在(0,1)内可导,且(1)FxfxF0,因 则 ,则 在 上满足罗尔定理的条件,则存在(0)f()0,1,使 ,又 ,即(0,1)c()0Fc ()(1)(1)xfxfx ()1ffc则 , 。()cff0,)22、 (6 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,试证明在 内存在(x,1(,1)(1)0f(0,1)一点 ,使 。c2)0fcf答案:证明:设 ,则 在 上连续,在(0,1)内可导,且因2()Fx()Fx0,则 ,则 在 上满足罗尔定理的条件,则存在 ,(1)0f)11(0,1)c使 ,又 ,即 ,则存在(0c 2()()()xfxf2()cff使 。(,)c2)ff23、 ( 6 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,试证明在 内存(x,1(0,1)(1)0f(0,1)在一点 ,使 。c)(fnfc为 正 整 数 )答案:证明:设 ,则 在 上连续,在(0,1)内可导,且因()Fx)Fx,则 ,则 在 上满足罗尔定理的条件,则存在 ,(1)0f)10(01(0,1)c使 ,又 ,即 ,则存在c 1()()nnxfxf1()nncff使 。(,)(ff24、 (10 分)设函数 上可导,且 ,证明在),xab在 (),()()1afxbafx在 上 有内有且仅有一个 值适合 。 (,)ab()fx答案:证明:设 在 内可导,从而在 上连续,因 ,()Fx,()fxb则 则 ,则 在 上()0,()0,fabf()0Fab 0F,a至少有一实根,接着证明该实根最多只有一个。反证,不妨设 在 上至少有()x,两个实根,设为 ,又 在 上连续,在 内可导,1212,()xFx()x12,12()x利用罗尔定理,则存在 ,使 ,即 ,这(,)ab0F),fab与 矛盾 ,即 在 上最多只有一个实根。故 在 上有()1fx()fx(,)ab()fx(,)ab且仅有一个实根。25、 (10 分)设 在 可导且有 个不同零点: ,求证:()f0,)n120n在 内至少有 个不同零点,其中 为任意实数。()afx,1a答案:证明:令 ,则 在 上连续,在 内可导,且因()axFfe()F,nx(,)nx,则 ,则 在 上()0,1,ifxn 0,i ()1,1)i满足罗尔定理的条件,则存在 ,使得 ,而1(,1iix ()0iF,即至少存在 使()()axaxFfef 21),i nn ,而 ,则 ,即 0i ifie(),iifaf在 内至少有 个不同零点。()axf(,)1n26、 (8 分)证明方程 有且仅有三个实根。2x答案:证明:令 ,则 连续,可导,显然有()F(),)Fx在,又 ,则至少存在 ,使 ,即(0)120,(5)(2,5()0F至少有三个不等实根,再证 至多有三个实根,设 至少有四个不等实根,xxx分别为 ,即 ,则在 上对1234x(),14iF 1234(,),(,)x应用罗尔定理得 至少有三个不等实根 ,则在 上()Fx0123,对 应用罗尔定理得 至少有两个不等实根 ,在 上对 应 ()x12c(,)c()Fx用罗尔定理得 至少有存在 ,而 矛盾,即(),()0F使 3ln0x不可能有四个实根,故 有且仅有三个实根。()0Fx21x27、 (6 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,试证明方程()fx0,1(,)(),(1)4ff在 内至少有一个实根。2(1)x答案:证明:设 ,则 在 上连续,在(0,1)内可导,且()arctnFxfx()F0,因 则 ,即 在 上满足罗尔定理的条件,则至(0),(1)4ff(0)1F()Fx0,1少存在 ,使 ,即 故方程, 2()f2()(1f在 内至少有一个实根。2(1)(1xf(0,)28、 (6 分)设 在 上连续,在 内可导,且 ,证明方程xe(1,)e(1)0,()1ffe在 内至少有一个实根。()xf(,)答案:证明:令 ,则 在 上连续,在 内可导,因()lnFxfx()F,e(,)e,(1)0f,则 ,即 在 上满足罗尔定理的条件,则至少存在e()0e()x1,e,使 ,而 ,即 ,即(1,)
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