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第四节 中值定理与导数的应用,高等数学 02-04-01,一、中值定理,二、导数在求函数极限中的应用,高等数学 02-04-02,三、导数在判别函数单调性方面的应用,四、导数在求函数极值方面的应用,五、导数在求函数最值方面的应用,六、应用导数判别函数曲线的凹凸拐点,七、应用导数画函数的图像,罗尔(Rolle)定理 如果函数 y=f(x) 满足: (1)在闭区间 a,b 上连续; (2)在开区间 (a,b) 内可导; (3)f(b)=f(a), 则在开区间 (a,b) 内至少存在一点 ,满足,高等数学 02-04-03,Lagrange中值定理的几何意义,高等数学 02-04-05,a,b,B,f(a),f(b),C,D,A,y=f(x),推论1 若函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内的导数恒等于零,则函数 f(x) 在该区间 (a,b) 内是一个常数。,推论2 设函数 f(x) 和 g(x) 在区间 (a,b)内可导,且有 ,则 f(x) 与 g(x) 相差一个常数。,高等数学 02-04-06,例 验证Lagrange中值定理对函数 y=lnx 在区间 1,e 上的正确性,并求出定理适合的点 。,高等数学 02-04-07,高等数学 02-04-08,则,高等数学 02-04-09,则,高等数学 02-04-10,高等数学 02-04-11,推论 若当 仍为 型,且 和 满足定理条件,则,高等数学 02-04-12,例 求极限,高等数学 02-04-13,例 求极限,例 求极限,高等数学 02-04-14,例 求极限,高等数学 02-04-15,例 求极限,高等数学 02-04-16,例 求极限,高等数学 02-04-17,课堂讨论题 求下列函数极限,(2),(3),高等数学 02-04-18,(1),注,(1)罗必塔法则只适用于 和 型;,(2) 存在,且 ;,(3)是对分子分母分别求导,而不是对整个分式求导;,(4)当 不存在时,不能用罗必塔法则。,高等数学 02-04-19,极限求法,(1) 利用极限的运算法则和函数的连续性;,(2) 利用恒等变形后计算;,(6) 利用罗必塔法则。,(5) 利用等价无穷小;,(3) 利用两个重要极限;,(4) 利用无穷小的性质;,高等数学 02-04-20,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-21,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-22,定理(函数单调性的判定) 设函数 y=f(x) 在闭区间 a,b 上连续,在开区间 (a,b) 内可导,则 (1)若在 (a,b) 内 f (x)0,则函数 f(x) 在 (a,b) 内单调增加; (2)若在 (a,b) 内 f (x)0,则函数 f(x) 在 (a,b) 内单调减少。,高等数学 02-04-23,单调增加,单调减少,高等数学 02-04-24,确定函数单调区间的步骤:,(1)确定函数的定义域;,(2)求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点(按从小到大的顺序排列);,(3)以这些点为端点,把定义域划分为若干个互不重叠的小区间,在这些小区间上,利用一阶导数的符号,进行判断。,高等数学 02-04-25,例 讨论函数 f(x)=2x39x212x3 的单调性。,高等数学 02-04-26,例 在血液循环系统中,血管内影响血液流动的阻力 R 是血管半径 r 的函数:,高等数学 02-04-27,(其中 为血液粘滞系数,L 为血管长度)。讨论当 r 在 0.011mm 范围内变化时,R 相应的变化情况。,这表明,对于半径 r 较小的动脉,r 的变化,将引起较大的流动阻力 R 的改变;反之,对于半径 r 较大的动脉,r 的变化,所引起的流动阻力 R 的改变较小。人体就是用神经系统来控制和调节微小动脉的半径,改变其流动阻力,从而达到改善或控制某局部血液流动的快慢和血液的供应。,高等数学 02-04-28,例 若 x0,证明:ex1+x,高等数学 02-04-29,课堂讨论题 讨论函数 f(x)=xlnx 的单调性。,高等数学 02-04-30,A,B,C,D,y=f(x),a,b,高等数学 02-04-31,极大值(maximum) 设函数 f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义,若对该邻域内任意的 x(xx0)均有 (1)f(x0)f(x) 成立,则称 f(x) 在点 x0 取得极大值 f(x0); (2)f(x0)f(x) 成立,则称 f(x) 在点 x0 取得极小值 f(x0) (minimum)。,高等数学 02-04-32,极值(extreme value) 函数的极大值与极小值,统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为函数的极值点(extreme point)。,高等数学 02-04-33,注 (1)极值是一个局部的概念; (2)极大值并不一定比极小值大; (3)极值与极值点是两个不同的概念:极值是指函数的一个值,而极值点是指自变量所取的一个值。,高等数学 02-04-34,定理(极值存在的必要条件) 如果函数 y=f(x) 在点 x0 取得极值,且 f (x0) 存在,则 f (x0)=0。,高等数学 02-04-35,驻点(critical point) 导数为零的点称为驻点。,高等数学 02-04-36,定理(第一充分条件) 设函数 f(x) 在点 x0 的邻域内可导,且 f (x0)=0 或 f (x0) 不存在,当自变量 x 由小变大经过 x0 时: (1)f (x) 符号由负变正,则 f(x) 在 x0 点处有极小值 f(x0 ); (2)f (x) 符号由正变负,则 f(x) 在 x0 点处有极大值 f(x0); (3)f (x) 的符号不变,则 f(x) 在 x0 点处无极值。,高等数学 02-04-37,x0,x0 是极大值点,f(x0) 是极大值,f (x0)=0,f (x)0,f (x)0,高等数学 02-04-38,x0 是极小值点,f(x0) 是极小值,x0,f (x0)=0,f (x)0,f (x)0,高等数学 02-04-39,求可导函数 y=f(x) 极值的步骤:,(1)确定函数 y=f(x) 的定义域;,(2)求出导数 f (x);,(3)求出函数的全部驻点及导数不存在的点;,高等数学 02-04-40,(4)考察 f (x) 在每个点左、右邻近的符号,从而确定此点是否是极值点;,(5)求出相应的极值。,高等数学 02-04-41,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-42,定理(第二充分条件) 设函数 f(x) 在点 x0 处有二阶导数,且 f (x0)=0,那么: (1)若 f (x0)0,则 f(x0) 为极小值; (2)若 f (x0)0,则 f(x0) 为极大值; (3)若 f (x0)=0,则不能判定 f(x0) 是否为极值。,高等数学 02-04-43,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-44,注 (1)极值为函数的“局部”特性。,(4)遇到一阶导数不存在的点或驻点的二阶导数为零,只能用第一充分条件来判断。,高等数学 02-04-45,(2)可导函数的极值点必定是驻点;反之,驻点并不一定是极值点;,(3)一个函数在导数不存在的点处,也有可能取得极值;,求极值的方法,(2)求出一阶导数等于零或不存在的点;,(3)用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点,是极大值点还是极小值点;,(4)求出极大值点和极小值点的函数值,即得函数的极大值和极小值。,(1)确定函数 y=f(x) 的定义域;,高等数学 02-04-46,求出函数 f(x) 在闭区间 a,b 上的所有极值点的函数值,以及端点处的函数值 f(a) 和 f(b),其中最大的就是最大值,最小的就是最小值。,求最值的方法,高等数学 02-04-47,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 在闭区间 0,3 上的最大值和最小值。,高等数学 02-04-48,注 (1)在闭区间上单调增加的连续函数,其最小值必在区间的左端点取得;最大值必在区间的右端点取得。如果函数是单调减少的,则与此相反;,(2)如果连续函数在闭区间内只有一个极值,则它若是极大值便是最大值,它若是极小值便是最小值。,高等数学 02-04-49,y=f(x),a,b,x0,y=f(x),a,b,x0,高等数学 02-04-50,(3)实际问题中,若可导函数在某一区间有唯一的驻点,则该点就是最值点。是最大值还是最小值要看实际问题是求最大值还是求最小值。,高等数学 02-04-51,例 按 1mg/kg 的比率给小鼠注射磺胺药物后,小鼠血液中磺胺药物的浓度可用下面的方程表示,其中 y 表示血液中磺胺药物的浓度(g/100L),t 表示注射后经历的时间(min)。问 t 为何值时,小鼠血液中磺胺药物的浓度 y 达到最大值?,高等数学 02-04-52,凹的(concave) 如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方,则称此曲线在该区间内是凹的;如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方,则称此曲线在该
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