复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线 y=f (x) 在点 (x0, y0) 处:,切线方程:,法线方程:,若平面光滑曲线方程为F (x, y) =0,故 在点 (x0, y0) 处:,切线方程:,法线方程:,第七节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、梯度在场论中的意义,一、空间曲线的切线与法平面,设空间曲线 的方程为：,若 x(t), y(t), z(t)连续且不全为零, 则称 为光滑曲线 .,空间曲线在点 M的切线: 此点处割线的极限位置.,曲线的法平面：过切点且垂直于过该点切线的平面.,切线的方向向量称为曲线的切向量.,割线M0M 方程为:,上式分母同除以t :,空间曲线 的方程为：,曲线在M0 处的切线方程为:,1、曲线方程为参数方程的情况,设空间光滑曲线 的方程为：,曲线上对应 t =t0 的点为 M0(x0,y0,z0),则 在 M0 点有切线且切向量,曲线在M0 处的切线方程为:,法平面方程为:,求空间光滑曲线 在 M0 点处的切线方程与法平面方程主要两个关键点:,1. 切点：坐标点 M0(x0,y0,z0)与参数点 t =t0 的对应.,2. 切向量:,解,曲线的切线方程为:,法平面方程为:,解,曲线的切线方程为:,法平面方程为:,若空间曲线方程为,法平面方程为:,特殊地：,在点 M0(x0,y0,z0)处, 切向量为,曲线的切线方程为:,2. 空间曲线为一般式的情况,设空间曲线 方程为：,解法1,则在点(1,1,1)处有:,曲线的切线方程为:,法平面方程为,解法2 将所给方程的两边对 x 求导, 得,曲线的切线方程为:,法平面方程为,解法3,曲线的切线方程为:,法平面方程为,二、曲面的切平面与法线,设曲面 的方程为F(x,y,z)=0,若F(x,y,z)的偏导数Fx、Fy、Fz 连续且不全为零,则称曲面 为光滑曲面.,称为曲面 在点M(x0,y0,z0)处的法向量.,过点M且以 为法向量的平面称为曲面 在点M的切平面.,过点M且与切平面垂直的直线称为曲面 在点M的法线.,1、曲面 方程为F(x,y,z) = 0,定理1 设光滑曲面方程为F(x,y,z)=0, M(x0,y0,z0)为曲面上的一点,则 在点M处存在切平面, 且 的法向量为:,曲面 在点M0的切平面方程为:,法线方程为:,解,切平面方程为:,法线方程为:,解,设(x0,y0,z0)为曲面上的切点,因切平面平行于已知平面, 得,因(x0,y0,z0)是曲面上的切点, 故满足曲面方程,故所求切点为(1,2,2)或(1,2,2),切平面方程为：,例6 证明：曲面 F ( 2x z, x+y ) = 0 上任一点的切平面平行于一定直线.其中 F ( u, v ) 可微.,证明:,记 G ( x, y,z ) = F ( 2x z , x + y ) ,则曲面上任一点处的法向量为:,取定向量,故切平面平行于以 为方向向量的定直线.,2、曲面 方程为z=z (x,y),定理2 设光滑曲面 方程为 z = z (x,y) , M0(x0,y0,z0)为曲面上的一点, 则曲面 在点M0处存在切平面, 且曲面的 法向量为,曲面 在 M0 处的切平面方程为:,法线方程为:,解,切平面方程为:,法线方程为:,*3、全微分的几何意义,切平面上点的竖坐标的增量,曲面 z = z ( x , y ) 在 M0 ( x0 , y0 , z0 )处的切平面方程为：,三、 等高线与等量面,1. 二元函数 F ( x , y ),F ( x , y ) = C 表示等量线 (等高线).,等高线,梯度为等高线上的法向量,为椭圆在点 ( x0 , y0 ) 的外法线方向,即：椭圆在点 ( x0 , y0 ) 处指向外侧的法向量,为椭圆在点 ( x0 , y0 ) 的内法线方向,即：椭圆在点 ( x0 , y0 ) 处指向内侧的法向量,分析,是求函数 z 的方向导数,故需要求: 1.方向 2. z的梯度：z .,解,2. 三元函数 F ( x , y , z ),F ( x , y , z ) = C 表示等量面.,为椭球面在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的外法线方向,为椭球面在点 ( x0 , y0 , z0 ) 的内法线方向.,例9 设 是曲面 在点 P(1,1,1 )处 指向外侧的法向量, 求函数 在点P 处沿方向 的方向导数.,解,解法二,同理有:,四、小结,一、空间曲线的切线与法平面 (切向量),(当空间曲线方程为一般式时,求切向量注意采用推导法),二、曲面的切平面与法线 (法向量),思考题,解答提示:,设切点为(x0, y0, z0,),依题意知法向量为 (3, , 3),切点满足曲面和平面方程,