, 一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第五讲 函数极限的概念和性质,授课教师：彭亚新,第二章 极 限,本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“”和 “X ” 语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。,第二章 极 限,第二节 函数的极限与性质,三. 极限定义及定理小结,四. 函数极限的基本性质,定义,想想：如何从几何的角度来表示该定义？,将图形对称过去后, 你有什么想法?,将图形对称,定义,现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?,现在从整体上来看这个图形 , 你有什么想法?,定义,由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝对值无限增大时,又包含了 x 的情形.,既包含了 x +,定理,及极限的三个定义即可证明该定理.,由绝对值关系式:,证,成立. 由极限的定义可知:,解,无限缩小, 可以小于任意小的正数 . 因而应该有,下面证明我们的猜想:,证明过程怎么写？,这里想得通吗？,由图容易看出：,分析,需要证明之处,请同学们 自己证一下.,证,f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义.,函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.,定义,(,(,证,这是证明吗？,非常非常严格！,证,证,这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必须设法去掉它. 因为 x 1, 所以, 从某时候开始 x 应充分地接近 1 .,( ),0,x,2,1,1 1,1+ 1,分析,结论,证,证毕,在极限定义中：,1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.,2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同 时也要对 x x0 以任何方式进行都成立.,3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.,y = a ,y = a ,y = a,x,O,y,x0,x0 ,x0 + ,曲线只能从该矩形的左右两边穿过,3.函数的左、右极限,定义,定义,(1) 左、右极限均存在, 且相等；,(2) 左、右极限均存在, 但不相等；,(3) 左、右极限中至少有一个不存在.,找找例题！,函数在点 x0 处的左、右极限可能出现 以下三种情况之一：,y = f (x),x,O,y,1,1,在 x = 1 处的左、右极限.,解,定理,利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.,解,解,三、极限定义及定理小结,极限定义一览表,极限定义一览表,在以后的叙述中, 如果函数 f ( x ) 极限的某种,性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 则将使,表示对任意一种极限过程的函数,用符号,四、函数极限的基本性质,极限.,1.有界性定理,若 lim f ( x ) 存在, 则函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.,2.唯一性定理,若 lim f ( x ) 存在, 则极限值必唯一.,3.保号性定理,该定理也称为第一保号性定理,极限值正负与函数值正负关系的推论,作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.,该定理也称为第二保号性定理,第二保号性定理成立.,运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 则由第一保号性定理将推出,f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了,注意:,当 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,按照第二保号性定理也只能得到,a 0 ( a 0 ) 结论.,函数值正负与极限值正负关系的推论,若极限 lim f ( x ) = a , lim g( x ) = b 存在,即 lim f ( x ) lim g( x ) .,且在该极限过程中 f ( x ) g( x ) , 则有 a b,在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号保持方向不变，但严格不等号一般要变为不严格不等号.,令 F (x) = f (x) g (x) 0 , 即可进行证明.,