,第2.1节,数列的极限,第二章,二 、数列极限的定义,一、数列的定义,一、数列的定义,称为数列，,记为,其中 称为数列的通项或一般项；,正整数n称为 的下标。,例如：,Def2.1:无穷多个按一定顺序排列的一列数：,注,1.数列对应着数轴上一点列.可看作一动点在数轴上依次 取值,2、数列 可视为定义在正整数集,并称之为下标函数。,上的函数:,(2)、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,. .,这是极限思想在几何学中的运用。这样的极限方法为微积分学中的一种基本方法。,. .,二、数列极限定义,若数列,及常数 a 有下列关系 :,设有数列 和常数a 。,则称a为数列 的极限，,或称数列 收敛于a .,或,记作,如果数列 有极限，,则称 是收敛的，,否则称,是发散的。,例如:,因此，对于简单情形，数列的极限可通过观察得出。,有时对 适当的变形，就可观察出数列的极限。,解:,(根式有理化法),数列极限四则运算法则：,例2,求下列数列极限：,解,(3) 由于,因此,(4) 由于,因此,分析：式中每一项的极限都是0，但由于项数随n的增 大而不断增加，故不是有限项，不能直接应用四则运 算法则。,（5）,性质2.1,性质2.2,性质2.3,定理2.1（夹逼定理）,解:,定义2.1,定义2.2,定理2.2,单调有界数列必收敛.,例4,证明,其次我们来证明数列,是单调递增数列，,数列,是单调递减数列.,事实上,由定理2.2 知道它们都收敛，且,常用收敛数列:,作业：P33 2(3)(5);4(4);5;8(1),