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1,第二章 倒数与微分,2,第一节 倒数的概念,一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内, 我们用平均速度来近似的代替瞬时速度,当 很小时,近似程度就越好, 此时由近似值就过渡到精确值 汽车在t+ 内的行驶路程为 ,在t时刻的速度 v(t) =,3,例 已知自由落体运动方程 S=1/2 gt2 求(1)落体在 t0 到 t0+ 这段时间内的平均速度; (2)落体在 t = t0 时的瞬时速度; (3)落体在 t =10s 到 t =10.1s 这段时间内的平均速度; (4)落体在 t =10s 时的瞬时速度。,4,(1) (2)由上式知,t = t0 时的瞬时速度为: (3)当t0 =10, =0.1s时,平均速度为 (4)当 t = 10s时,瞬时速度为,5,二. 曲线的切线问题 与曲线只有一个交点的直线为圆的切线,y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义,但在实际中切线只有一条,6,导数的定义,定义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定义,当自变量x在点x0处取得增量 时,相应函数y取得增量 如果 存在,则称函数 y = f(x)在点x0处可导,并称此极限为函数y = f(x)在点x0处的导数,记做 ,即 =,7,比值 反映自变量 时,函数的平均变化率; 导数 反映函数在点x0处的瞬时变化率,即函数随自变量变化而变化的快慢程度; 若函数y = f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,则称函数y = f(x)在区间(a,b)内可导; 导函数简称导数,8,求导数的步骤,(1)求增量: (2)算比值: (3)取极限:,9,常见的导数公式,(常数的导数等于零) 幂函数,10,对数函数 指数函数,11,导数的几何意义,函数 y = f(x)在点x0处的导数 表示曲线 y = f(x)上点M(x0,f(x0))的切线斜率k,k = tan = 函数在点M(x0,f(x0))处的切线方程 函数在点M(x0,f(x0))的法线方程,12,例 2-7 求曲线 在点(4 , 2)处的切 线方程和法线方程。 例 2-8 曲线 上何处的切线平行于直线y = x + 1。,13,可导的充要条件,定义2-2 若 存在,则称其为函数y = f(x)在点x0处的左导数,记作 ,即 =,14,同样,如果 存在,则称其为函数y = f(x)在点x0处的右导数,记作 ,即 = 因此,函数y = f(x)在点x0处可导的充要条件是 左右导数存在且相等,即 =,15,例 2-9 讨论函数y = f(x) = 在点x=0处的可导性。,16,可导与连续的的关系,定理2-1 若函数y = f(x)在点x处可导,则它在该点处必连续。 若函数y = f(x)在点x处连续,则它在该点处不一定可导。,17,例 2-11 讨论函数y = f(x) = 在点x = 1处的连续性与可导性。 连续性 左极限=右极限=函数值 可导性 左导数=右导数,18,第二节函数的和、差、积、商求导法则,一、函数的和、差、积、商的导数 定理2-2 (导数的四则运算的法则) 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数,则 (1) 也是x的可导函数,且 (2)u*v也是x的可导函数,且 (3) 也是x的可导函数,且 特别,19,(4) (5) 例2-12 求 例2-13 求 例2-14 例2-15 例2-16,20,例2-17 求y = tan x 的导数; 例2-18 求y = sec x 的导数; 例2-19 求函数 的导数,并求 例2-20 求函数 的导数,21,第三节 反函数与复合函数的导数,一 反函数的导数 定理2-3 设 为直接函数, 是它的反函数,如果 在区间I内严格单调、可导,且 ,那么它的反函数 在对应的区间内可导,且有,22,结论概括:反函数的导数等于它的原函数导数的倒数 例2-21 求 的导数 例2-22 求 的导数,23,基本初等函数的导数公式,(常数的导数等于零) 幂函数 三角函数,24,反三角函数,25,对数函数 指数函数,26,二 复合函数的导数 定理2-4 (复合函数求导法则) 若函数 在点x处可导,函数 在对应点u处可导,则复合函数 在点x处可导,且,27,例2-23 例2-24 例2-25 例2-26 例2-27,28,例2-28 例2-29 例2-30,29,第四节 隐函数、幂指函数及参数式函数的导数,一 隐函数的导数 用自变量x表示y的函数即 ,如y = 3x+1,y = lnx+sinx等,称之为显函数; 函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)= 0表示的函数称为隐函数,如 3x-y+1=0,xy+x+1=0等。,30,隐函数的求导法则:方程两边同时对自变量 x 求导,得到一个含 的方程式,从中解出 即可。 注:方程两边对 x 求导,是指遇到 x 时,可直接求出其导数;遇到 y 或 y 的函数时,把 y 看成中间变量,按照复合函数的求导法则先对 y 求导,再对 x 求导。,31,例 2-31 求由方程 所确定的函数 y 对自变量 x 的导数 例 2-32 求由方程 所确定的隐函数y 对自变量 x 的导数 例 2-33 求曲线 上点(3,-4)处的切线方程和法线方程,32,二 幂指函数的导数 形如 的函数称为幂指函数。如 等 幂指函数求导方法: 1.对数求导法 2.指数求导法,33,1.对数求导法步骤: 1)两边取对数 2)方程两边同时对X求导,得到一个关于 的方程式,从中解出 2.指数求导法,34,例2-34 求函数的 导数 例2-35 设 例2-36 求函数 的导数,35,三 参数式函数的导数 定理2-5 设函数 由参数方程 所确定,当 都可导,且 ,则由参数方程所确定的函数(参数式函数) 的导数为,36,例2-37 求参数方程 的导数 例2-38 求曲线 在 处的切线方程和法线方程 例2-39 已知参数方程 ,求 。,37,第五节 高阶导数,定义一 函数 的导数 的导数称为 函数 二阶导数,记为 定义二 若函数 存在n-1阶导数,并且n-1阶导数可导,那么函数 的n-1阶导数的导数,称为 的n阶导数,记为 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,38,例2-40 求函数y = ax+b 的二阶导数 例2-41 设 ,求 例2-42 设 ,求 例2-43 求函数 的四阶导数 例2-44 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数,39,例2-45 求参数方程所确定的函数 的二阶导数 例2-46 求 的n阶导数 例2-47 设,40,第六节 微分的概念、基本公式及运算法则,一.面积的增量 定义2-3 设函数 在点 处可导, 则 称为函数 在点 处的微分,记做 或 ,即 这时也称函数 在点x处可微,41,例2-48 求函数 时的 。 例2-49 已知半径为 r 的球,其体积为 ,当半径 r 增大 时,求体积的增量和微分 例2-50 求下列函数的微分,42,二 微分的几何意义,
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