2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第2章 一元函数微分学及其应用,第1节 导数的概念 第2节 求导基本法则 第3节 微分 第4节 微分中值定理及其应用 第5节 Taylor定理及其应用 第6节 函数性态的研究,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,第4节 微分中值定理及其应用,1. 函数的极值 2. Fermat定理 3. Rolle定理 4. Lagrange定理 5. Cauchy定理,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,定义1,类似定义极小值, 极小值点.,极值和最值的区别,(1)极值为局部性质,最值为整体性质;,1 函数的极值,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,注意：,1 . Fermat定理的逆不一定成立。,例如,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,3. 罗尔(Rolle)中值定理,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,证明,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,几何解释:,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,例1,证明,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,例2,证明,思路：构造辅助函数,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,12,例3,分析：,证明,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,EX.,思路：构造辅助函数,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,4 拉格朗日(Lagrange)中值定理,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,几何解释:,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,分析,弦AB方程为,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,证明 (几何角度),2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,满足罗尔中值定理,证明 (代数角度),2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,注1.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.,注2: Lagrange中值定理的几种形式,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,推论1,证明,推论2,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,推论3 (导数极限定理),应用：利用导函数的极限来求区间端点或分段点的左右导数！,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,例4,证,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,例5 (证明不等式),证,由上式得,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,例6,证明,推论,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,5 柯西中值定理,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,26,几何解释:,证 (几何角度),作辅助函数,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,特别,Lagrange中值公式,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,证 (代数角度),2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,例7,分析：结论可变形为,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,2 设f(x)在a, b上可微，且ab0，求证：,(ab),证明 令, a, b同号，故x=0不在(a, b)内;,(x),g(x)在(a, b)内可微。,由柯西中值定理,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,第4节 微分中值定理及其应用,1. 函数的极值 2. Fermat定理 3. Rolle定理 4. Lagrange定理 5. Cauchy定理,6 L Hospital法则,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,( 或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达(1661 1704),2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,6 洛必达（L Hospital）法则,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,定义,例如,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,(或为 ),定理 4. 5,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理 4.5 仍然成立.,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,证,定义辅助函数,则有,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,(或为 ),定理 4. 6,(洛必达法则),2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,41,1),的情形,从而,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,42,2),的情形.,取常数,可用 1) 中结论,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,43,例1.,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,44,注意:,各种方法综合使用(提出常数因子, 等价代换,变量替换), 可多次连续使用,例2.,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,45,例3,解,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,46,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例4,解,特别是等价无穷小替换,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,47,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型！,通分,取倒数,取对数,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,48,例5,解,步骤:,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,49,例6,解,步骤:,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,50,步骤:,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,51,例7,解,例8,解,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,52,例9,解,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,53,再次强调,(3) 及时化简，,(4) 多次使用.,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,54,例10,解,极限不存在,洛必达法则失效。,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,55,以Heine定理为媒介,计算数列极限.,例11.,解：,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,56,例12,解,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,57,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,58,三、小结,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,59,思考题,2008年11月12日,南京航空航天大学 理学院 数学系,60,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,