,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,第五节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分(differential),第二章,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、微分的概念,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商(differential coefficient),切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 微分运算法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,一阶微分形式不变,5. 复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,三、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值 .,解:,例5. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 设函数,的图形如下, 试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分, 得,已知,求,解：,思考题.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,