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精打细算、物尽其用如图,有一面积为150m2的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成如果竹篱笆的长为35m,求鸡场的长与宽各是多少米?解这个方程得x115,x220(不合题意)答:鸡场的长与宽各为15m,10m对于本题,我们提出下面的两个问题:1在竹篱笆总长35m不变的前提下,还是一边靠墙,墙长18m,能否通过精打细算,将这个鸡场尽可能围得大一点,做到物尽其用,充分发挥竹篱笆的利用率,最大可围多少平方米?2围成什么样的形状面积最大?设鸡场与墙垂直的一边长为x米,则与墙平行的一边长为(35-2x)m,鸡场面积设为k m2,依题意有(35-2x)xk整理得 2x2-35x+k0要使鸡场的长与宽有解,(即x有解),必须0, (-35)2-42k0于是,当围成最大面积的鸡场时,其宽为,长为,也就是说,围成两个并排着的,边长为的正方形时面积最大。现在我们将上题改造一下,供大家研究用长为96m的竹篱笆围成一个矩形鸡场鸡场的一边靠近河边,靠近河边的一边为了坚固,要求围两道问可围成的鸡场的最大面积是多少?此时鸡场的长、宽各为多少米?若靠近河边的一边要求围三道、四道呢?请你总结其中的规律解 设靠近河边的一边长为x米,则另一边的长为:m,设机场的面积为Sm2,依题意,整理得 3x2-96x+2S0要使问题有解,必须0,即962432S0, S384 S的最大值是384m2当S=384时,上面的方程变为3x2-96x+768=0解这个方程得x1x216故当靠近河边的一边的长为16m,另一边的长为24m时,鸡场的面积最大最大的鸡场面积是384m2如果靠近河边的一边要求围三道、四道,可用同样的方法加以研究设靠近河边的一边长为x米,靠近河边的一边要求围n道,则另一边的长为鸡场面积设为Sm2依题意有整理得(n+1)x2-96x+2S0要使问题有解,必须0,即 962-4(n+1)2S0,上述结论中不靠河边的一边长为24m,与n的取值无关这说明了这个问题的规律:不管靠近河边的一边围几道,总是当矩形每组对边共用竹篱笆的长等于篱笆总长的一半时,围得的鸡场面积最大下面提供一道习题供同学们练习习题 如图,利用墙角围一长方形猪栏ABCD,CD边用砖砌,每米造价10元,AD边做成铁栏杆,每米造价15元现有资金300元,请你精打细算一番,围成一个面积最大的猪栏答案 CD边做成15米长,AD边做成10米长时,猪栏的面积最大,最大面积是150平方米本题也体现了一条规律:AD、CD两边耗资相等时,围得的猪栏面积最大同学们如有兴趣可以深入研究4
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