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1 初中数学最短路径问题典型题型初中数学最短路径问题典型题型 知识点:“两点之间线段最短” , “垂线段最短” , “点关于线对称” , “线段 的平移” 。 “饮马问题” , “造桥选址问题” 。考的较多的还是“饮马问题” ,出题 背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路:找点关于线的对称点实现“折”转“直” ,近两年出现“三折线” 转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧一、两点在一条直线异侧 例:已知:如图,A,B 在直线 L 的两侧,在 L 上求一点 P, 使得 PA+PB 最小。 解:连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。 (根据:两点 之间线段最短.) 二、 两点在一条直线同侧二、 两点在一条直线同侧 例:图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应 建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短 解:只有A A、C C、B B在一直线上时,才能使ACAC+BCBC最小作点A A关 于直线“街道” 的对称点A A,然后连接A AB B,交“街道” 于点C C, 则点C C就是所求的点 三、一点在两相交直线内部三、一点在两相交直线内部 例:已知:如图 A 是锐角MON 内部任意一点,在MON 的两边 OM, ON 上各取一点 B,C,组成三角形,使三角形周长最小 . 解:分别作点 A 关于 OM, ON 的对称点 A,A;连接 A,A,分别交 OM, ON 于 点 B、点 C,则点 B、点 C 即为所求 分析:当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小 例:如图,A.B 两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥 MN,桥造在何处才 能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河 垂直) 解:1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到 E, 2.连接 AE 交河对岸与点 M, 则点 M 为建桥的位置,MN 为所建的桥。 D A B M N E 2 证明:由平移的性质,得 BNEM 且 BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE, 所以 A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处,连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为: AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在ACE 中,AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在 CD 处,AB 两地的路程最短。 例:如图,A、 B 是两个蓄水池,都在河流 a 的同侧,为了方便灌溉作 物,要在河边建一个抽水站,将河水送到 A、B 两地,问该站建在河 边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。 作法:作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D,则点 D 为 建抽水站的位置。 证明:在直线 a 上另外任取一点 E,连接 AE.CE.BE.BD, 点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E 在直线 a 上,DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在ACE 中,AE+ECAC, 即 AE+ECAD+DB 所以抽水站应建在河边的点 D 处, 例:某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的 AO,BO),AO 桌面上摆满了桔子,OB 桌面上 摆满了糖果,坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请 你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短? 作法:1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D, 2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N, 则 CM+MN+CN 最短 例:如图:C 为马厩,D 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再 到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。 作法:1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F, 2. 作点 D 关于直线 OB 的对称点点 E, 3.连接 EF 分别交直线 OA.OB 于点 G.H, 则 CG+GH+DH 最短 四、求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的方案设计四、求圆上点,使这点与圆外点的距离最小的方案设计 在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优 设计方案。 例:一点到圆上的点的最大距离为 9,最短距离为 1,则圆的半径为多少? (5 或 4) C D A B E a A O B E N C M A O B D C H F G E D 3 四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形,圆柱体展开的底面周长是长方形的长,圆柱的高是长方形的 宽可求出最短路程 例:如图所示,是一个圆柱体,ABCD 是它的一个横截面,AB=, BC=3,一只蚂 蚁,要 从 A 点爬行到 C 点,那么,最近的路程长为() A7BCD5 分析:要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果 解:将圆柱体展开,连接 A、C, = =4,BC=3, 根据两点之间线段最短,AC=5 故选 D 五、在长方体(正方体)中,求最短路程五、在长方体(正方体)中,求最短路程 1)将右侧面展开与下底面在同一平面内,求得其路程 2)将前表面展开与上表面在同一平面内,求得其路程 3)将上表面展开与左侧面在同一平面内,求得其路程了 然后进行比较大小,即可得到最短路程. 例 : 有一长、宽、高分别是 5cm,4cm,3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方 体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处,则需 要爬行的最短路径长为() A5cmBcmC4cmD3cm 分析:把此长方体的一面展开,在平面内,两点之间线段最短利用勾股定理求点 A 和 B 点间的线段长, 即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中,一条直角边长等于长方体的高,另一条直角边长等于长 方体的长宽之和,利用勾股定理可求得 解:因为平面展开图不唯一, 故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线 (1)展开前面、右面,由勾股定理得 AB2=(5+4)2+32=90; (2)展开前面、上面,由勾股定理得 AB2=(3+4)2+52=74; (3)展开左面、上面,由勾股定理得 AB2=(3+5)2+42=80; 所以最短路径长为cm 例:如图是一个长 4m,宽 3m,高 2m 的有盖仓库,在其内壁的 A 处(长的 四等分)有一只壁虎,B 处(宽的三等分)有一只蚊子,则壁虎爬到蚊子 处最短距离为() A4.8BC5D 分析:先将图形展开,再根据两点之间线段最短可知 解:有两种展开方法: 将长方体展开成如图所示,连接 A、B, 4 根据两点之间线段最短,AB=; 将长方体展开成如图所示,连接 A、B,则 AB=5; 所以最短距离 5 例:有一棵 9 米高的大树,树下有一个 1 米高的小孩,如果大树在距地面 4 米处折断(未完 全折断),则小孩至少离开大树米之外才是安全的 分析:根据题意构建直角三角形 ABC,利用勾股定理解答 解:如图,BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m,则 BC=41=3m, AB=94=5m, 在 RtABC 中,AC=4 例:如图,在一个长为2米,宽为1米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体 的木块,它的棱长和场地宽 AD 平行且AD,木块的正视图是边长为 0.2 米的正方 形,一只蚂蚁从点 A 处, 到达 C 处需要走的最短路程是米(精确到 0.01 米) 分析:解答此题要将木块展开,然后根据两点之间线段最短解答 解:由题意可知,将木块展开,相当于是 AB+2 个正方形的宽, 长为 2+0.22=2.4 米;宽为 1 米 于是最短路径为:=2.60 米 例:如图,AB 为O 直径,AB=2,OC 为半径,OCAB,D 为 AC 三等分点,点 P 为 OC 上的动点,求 AP+PD 的最小值。 分折:作 D 关于 OC 的对称点 D ,于是有 PA+PDAD, (当且仅当 P 运动到 Po处,等号成立,易求 AD=。3 六、在圆锥中,可将其侧面展开求出最短路程六、在圆锥中,可将其侧面展开求出最短路程 将圆锥侧面展开,根据同一平面内的问题可求出最优设计方案将圆锥侧面展开,根据同一平面内的问题可求出最优设计方案 例 : 如图,一直圆锥的母线长为 QA=8,底面圆的半径 r=2,若一只小 蚂蚁从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则蚂蚁爬行的 最短路线长是 (结果保留根式) 小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长, 根据题意可得出:2r=n.OA,/180 则, 则 22= , 解得:n=90, 由勾股定理求得它的弦长 AA n8 180 5 一、题中出现一个动点。一、题中出现一个动点。 当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之 间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例:如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 AB 上一定点, 且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点,求 PE+PC 最小值。 分析:作 E 关于 BD 对称点 E ,E在 AB 上, 有 PE+PC=PE+PCEC 易求 EC=26。 二、题中出现两个动点二、题中出现两个动点。 当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称 点.利用两点之间线段最短求出最值。 例例 : 如 图 , 在 直 角 坐 标 系 中 有 四 个 点 , A(-8,3),B(-4,5)C(0,n),D(m,0),当四边形 ABCD 周长 最短时,求 。 m n 分折:因 AB 长为定值,四边形周长 最短时有 BC+CD+DA 最短,作 B 关于 y 轴对称点 B, A 关于 x 轴对称点 A, DA+DC+BC=DA+DC+BCBA(当 D,C 运动到 AB 和 x 轴 y 轴的交点时等号 成立),易求直线 AB解折式 y= +,C0(0,),D0(-,0),此时=- 2 3 x 7 3 7 3 7 2 m n 2 3 三、题中出现三个动点时。三、题中出现三个动点时。 在求解时应注意两点: (1)作定点关于动点所在直线的对称点, (2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题. 例:如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点, 求 PE+PF 最小值 6 分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有, PE+PF=PF+PEEF,又因为E 在AB 上运动,故当EF 和AD,BC 垂直时,E0F 最短,易求E0F= 。 3 例 : 如图,AOB=45,角内有一动点 P ,PO=10,在 AO,BO 上有两动点 Q, R,求PQR 周长的最小值。 分折:作 P 关于 OA,OB 对称点 P1,P2 。 于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2P1P2, 由对称性易知P1OP2 为等腰 RT,OP=OP1=OP2=10,P1P2= 10 2 总之,在这一类动点最值问题中,关键在于,我们善于作定 点关于动点所在直线的对称点,或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我 们解决此类问题有事半功倍的作用。 1、运用轴对称解决距离最短问题1、运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段 的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓 住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都
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