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1 初中数学几何模型初中数学几何模型 中点模型中点模型 【模型【模型 1】倍长】倍长 1、倍长中线;、倍长中线;2、倍长类中线;、倍长类中线;3、中点遇平行延长相交、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型【模型 2】遇多个中点,构造中位线】遇多个中点,构造中位线 1、直接连接中点;、直接连接中点;2、连对角线取中点再相连、连对角线取中点再相连 【例【例 1】在菱形 ABCD 和正三角形 BEF 中,ABC=60,G 是 DF 的中点,连接 GC、GE (1)如图 1,当点 E 在 BC 边上时,若 AB=10,BF=4,求 GE 的长; (2)如图 2,当点 F 在 AB 的延长线上时,线段 GC、GE 有怎样的关系,写出你的猜想;并给予证明; (3)如图 3,当点 F 在 CB 的延长线上时,(2)问中关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明. 图 3图 2图 1 G F D C G F D C G F D C AB E E BA E BA 【例【例 2】如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BC、CD 上一点,连接 DE、EF,且 AE=AF, BAFDAE (1)求证:CE=CF; (2)若,点 G 是线段 AF 的中点,连接 DG,EG求证:DG 上 GE120ABC 【例【例 3】如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别为 BC、AD 中点,BA 交 EF 延长线于 G,CD 交 EF 于 H求证:BGE=CHE 2 E AB C O D E AB C O D B O A C H G E F A B D C 角平分线模型角平分线模型 【模型【模型 1】构造轴对称【模型】构造轴对称【模型 2】角平分线遇平行构造等腰三角形】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例【例 4】如图,平行四边形 ABCD 中,AE 平分BAD 交 BC 边于 E,EFAE 交 CD 边于 F,交 AD 边于 H,延长 BA 到点 G,使 AG=CF,连接 GF若 BC=7,DF=3,EH=3AE,则 GF 的长为. H G F E A D B C 手拉手模型手拉手模型 【条件】【条件】OAOBOCODAOBCOD , 【结论】【结论】OACOBD;AEBOABCOD (即都是旋转角);OEAED平分; - 【例【例 5】如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是对角线 AC、BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE, 过点 C 作 CFBE,垂足为 F,连接 OF,则 OF 的长为. 3 C D A B E F E C D B A F E B D A C F E G CD AB G F E CD BA 【例【例 6】如图,中,AB=AC,ADBC 于点 D,点 E 在 AC 边上,连结 BE,AGBEABC90BAC 于 F,交 BC 于点 G,求DFG G F D CB A E 【例【例 7】如图,在边长为的正方形 ABCD 中,E 是 AB 边上一点,G 是 AD 延长线上一点,BEDG,6 2 连接 EG,CFEG 于点 H,交 AD 于点 F,连接 CE、BH。若 BH8,则 FG 18图 图 H G F E D C B A 16图 图 O C B A 邻边相等对角互补模型邻边相等对角互补模型 【模型【模型 1】 【条件】如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,180BADBCDABCADC 【结论】AC 平分BCD E B D A C 【模型【模型 2】 【条件】如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,90BADBCD 【结论】452ACBACDBCCDAC 【例【例 8】如图,矩形 ABCD 中,AB=6,AD=5,G 为 CD 中点,DE=DG,FGBE 于 F,则 DF 为. 第第 8 题题 第第 9 题题 第第 10 题题 【例【例 9】如图,正方形 ABCD 的边长为 3,延长 CB 至点 M,使 BM=1,连接 AM,过点 B 作,BNAM O N DC A B M 4 F E B C DA H N M E F BC AD F E D B A C 垂足为 N,O 是对角线 AC、BD 的交点,连接 ON,则 ON 的长为 . 【例【例 10】如图,正方形 ABCD 的面积为 64,是等边三角形,F 是 CE 的中点,AE、BF 交于点 G,BCE 则 DG 的长为 . 半角模型半角模型 【模型【模型 1】 【条件】如图,四边形 ABCD 中,AB=AD, , 180BADBCDABCADC 【结论】 1 2 EAFBADEBCFCD,点 在直线上, 点 在直线上 BEDFEF、满足截长补短关系 【模型【模型 2】 【条件】在正方形 ABCD 中,已知 E、F 分别是边 BC、CD 上的点,且满足EAF=45,AE、AF 分别与 对角线 BD 交于点 M、N. 【结论】 (1) BE+DF=EF;(2) SABE+SADF=SAEF;(3) AH=AB;(4) CECF=2AB; (5) BM2+DN2=MN2; (6) ANMDNFBEMAEFBNADAM; (由 AO:AH=AO:AB=1:可得到ANM 和AEF 的相似比为 1:);22 (7) SAMN=S四边形 MNFE;(8) AOMADF,AONABE; (9) AEN 为等腰直角三角形,AEN=45;AFM 为等腰直角三角形,AFM=45. (1. EAF=45;2.AE:AN=1:);2 (10)A、M、F、D 四点共圆,A、B、E、N 四点共圆,M、N、F、C、E 五点共圆. 【模型【模型 2 变型】变型】 【条件】 在正方形ABCD中, 已知E、 F分别是边CB、 DC延长线上的点, 且满足EAF=45【结论】 BE+EF=DF 5 F E B C D A H G F C B D A E 【模型【模型 2 变型】变型】 【条件】 在正方形ABCD中, 已知E、 F分别是边CB、 DC延长线上的点, 且满足EAF=45【结论】 DF+EF=BE 【例【例 11】如图,和是两个全等的等腰直角三角形,的顶ABCDEF90EDFBACDEF 点 E 与的斜边 BC 的中点重合将绕点 E 旋转,旋转过程中,线段 DE 与线段 AB 相交于点ABCDEF P,射线 EF 与线段 AB 相交于点 G,与射线 CA 相交于点 Q若 AQ=12,BP=3,则 PG=. 来源:学科网 【例【例 12】如图,在菱形 ABCD 中,AB=BD,点 E、F 分别在 AB、AD 上,且 AE=DF.连接 BF 与 DE 交于 点 G,连接 CG 与 BD 交于点 H,若 CG=1,则. BCDG S 四边形 一线三等角模型一线三等角模型【条件】【结论】EDFBCDEDF ,且BDECFD E F BC A D 【例【例 13】如图,正方形 ABCD 中,点 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 边上的点,EB=3,GC=4,连接 EF、 FG、GE 恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为 . E DA CB F G 最短路径模型最短路径模型【两点之间线段最短】【两点之间线段最短】 1、将军饮马、将军饮马 6 H G F B C A D E P Q A C D A B C B P P P B A B P A B PQ A B 2、费马点【垂线段最短】、费马点【垂线段最短】 C A b P P A B 【两边之差小于第三边】【两边之差小于第三边】 【例【例 16】如图,矩形ABCD是一个长为 1000 米,宽为 600 米的货场,A、D是入口现拟在货场内建一 个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l求l的 最小值 600m 1000m H P D CB A B E A BC D F 【例【例 17】如图,E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 AE=DF,连接 CF 交 BD 于 G,连接 BE 交 AG 于点 H,若正方形的边长为 2,则线段 DH 长度的最小值是. 【例【例 18】如图所示,在矩形 ABCD 中,E 是线段 AB 的中点,F 是线段 BC 上的动点,4,4 2ABAD 沿直线 EF 翻折到,连接,最短为 .BEFB EFDBDB 三垂直模型三垂直模型 7 8 图 3图 2图 1 A E B F C DA E B F C G D A E BF C G D 课后练习题课后练习题 【练习【练习 1】 问题 1: 如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AB=BC=CD,点 M,N 分别在 AD,CD 上,MBN= 1 2 ABC,试探究线段 MN,AM,CN 有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想; 问题 2:如图 2,在四边形 ABCD 中,AB=BC,ABC+ADC=180,点 M,N 分别在 DA,CD 的延长线 上,若MBN=ABC 仍然成立,请你进一步探究线段 MN,AM,CN 又有怎样的数量关系?写出你的 1 2 猜想,并给予证明. 【练习【练习 2】已知:如图 1,正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG 求证:EG=CG 且 EGCG; 将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转 45,如图 2 所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG问中的结论是否 仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由 将图 1 中BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图 3 所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
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