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第 1 页 共 15 页 初 中 几 何 证 明 题初 中 几 何 证 明 题 经 典 题(一)经 典 题(一) 1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C、E 是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO 求证:CDGF (初二) .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 2、已知:如图,P 是正方形 ABCD 内点,PADPDA150 求证:PBC 是正三角形 (初二) .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD A P C D B A F G C E B OD 第 2 页 共 15 页 3、如图,已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、 CC1、DD1的中点 求证:四边形 A2B2C2D2是正方形 (初二) 4、已知:如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,M、N 分别是 AB、CD 的中点,AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证:DENF 经 典 题(二)经 典 题(二) 1、已知:ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点) ,O 为外心,且 OMBC 于 M (1)求证:AH2OM; (2)若BAC600,求证:AHAO (初二) D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B A D H E M C B O 第 3 页 共 15 页 P C G F BQ A D E 2、设 MN 是圆 O 外一直线,过 O 作 OAMN 于 A,自 A 引圆的两条直线,交圆于 B、C 及 D、E,直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证:APAQ (初二) 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设 MN 是圆 O 的弦,过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE,设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证:APAQ (初二) 4、如图,分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边,在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG,点 P 是 EF 的中点 求证:点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 (初二) 经 典 题(三)经 典 题(三) 1、如图,四边形 ABCD 为正方形,DEAC,AEAC,AE 与 CD 相交于 F 求证:CECF (初二) G A O D B E C QP NM O Q P B D E C N M A A F D E C B 第 4 页 共 15 页 2、如图,四边形 ABCD 为正方形,DEAC,且 CECA,直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证:AEAF (初二) 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点,PFAP,CF 平分DCE 求证:PAPF (初二) 4、如图,PC 切圆 O 于 C,AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证:ABDC,BCAD (初三) 经 典 题(四)经 典 题(四) 1、已知:ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA3,PB4,PC5 求:APB 的度数 (初二) 2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且PBAPDA 求证:PABPCB (初二) 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形,求证:ABCDADBCACBD (初三) D E DA C B F F EPC B A ODB F A E C P A P CB P A D CB 第 5 页 共 15 页 4、平行四边形 ABCD 中,设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点,AE 与 CF 相交于 P,且 AECF求证:DPADPC (初二) 经 典 难 题(五)经 典 难 题(五) 1、 设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点,LPAPBPC, 求证:L2 2、已知:P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PAPBPC 的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点,并且 PAa,PB2a,PC3a,求正方形的边长 C B D A F P D E CB A A P CB A C B P D A C B P D 第 6 页 共 15 页 4、 如图, ABC 中, ABCACB800, D、 E 分别是 AB、 AC 上的点, DCA300, EBA200,求BED 的度数 经 典 题(一)经 典 题(一) 1.如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 2. .如下图做 GHAB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆,所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得=,又 CO=EO,所以 CD=GF 得证。 EO GF GO GH CO CD 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点, E D CB A 第 7 页 共 15 页 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点,连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点, 由 A2E=A1B1=B1C1= FB2 ,EB2=AB=BC=FC1 ,又GFQ+Q=900和 1 2 1 2 1 2 1 2 GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2 , 可得B2FC2A2EB2 ,所以 A2B2=B2C2 , 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 , 从而可得A2B2 C2=900 , 同理可得其他边垂直且相等, 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。 4.如下图连接 AC 并取其中点 Q, 连接 QN 和 QM, 所以可得QMF=F, QNM=DEN 和QMN=QNM,从而得出DENF。 经 典 题(二)经 典 题(二) 第 8 页 共 15 页 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF,做 OGAF, 又F=ACB=BHD, 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF, 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB,OC,既得BOC=1200, 从而可得BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作 OFCD,OGBE,连接 OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。 由于, 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG = 由此可得ADFABG,从而可得AFC=AGE。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆,可得AFC=AOP 和AGE=AOQ, AOP=AOQ,从而可得 AP=AQ。 第 9 页 共 15 页 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG,CI,FH。可得 PQ=。 2 EGFH+ 由EGAAIC,可得 EG=AI,由BFHCBI,可得 FH=BI。 从而可得PQ= = ,从而得证。 2 AIBI+ 2 AB 经 典 题(三)经 典 题(三) 1.顺时针旋转ADE,到ABG,连接 CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B,G,D 在一条直线上,可得AGBCGB。 推出 AE=AG=AC=GC,可得AGC 为等边三角形。 AGB=300,既得EAC=300,从而可得A EC=750。 第 10 页 共 15 页 又EFC=DFA=450+300=750. 可证:CE=CF。 2.连接 BD 作 CHDE,可得四边形 CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH, 可得CEH=300,所以CAE=CEA=AED=150, 又FAE=900+450+150=1500, 从而可知道F=150,从而得出 AE=AF。 3.作 FGCD,FEBE,可以得出 GFEC 为正方形。 令 AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=,可得 YZ=XY-X2+XZ, X Y Z YXZ-+ 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ,既得 X=Z ,得出ABPPEF , 得到 PAPF ,得证 。 第 11 页 共 15 页 经 典 难 题(四)经 典 难 题(四) 1. 顺时针旋转ABP 600 ,连接 PQ ,则PBQ 是正三角形。 可得PQC 是直角三角形。 所以APB=1500 。 2.作过 P 点平行于 AD 的直线,并选一点 E,使 AEDC,BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP,可得: AEBP 共圆(一边所对两角相等) 。 可得BAP=BEP=BCP,得证。 3.在 BD 取一点 E,使BCE=ACD,既得BECADC,可得: =,即 ADBC=BEAC, BE BC AD AC 第 12 页 共 15 页 又ACB=DCE,可得ABCDEC,既得 =,即 ABCD=DEAC, AB AC DE DC 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ,得证。 4.过 D 作 AQAE ,AGCF ,由=,可得: ADE S 2 ABCD S DFC S =,由 AE=FC。 2 AE PQ 2 AE PQ 可得 DQ=DG,可得DPADPC(角平分线逆定理) 。 经 典 题(五)经 典 题(五) 1.(1)顺时针旋转BPC 600 ,可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 L= ; 第 13 页 共 15 页 (2)过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D,F。 由于APDATP=ADP, 推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得:最大 L 2 ; 由(1)和(2)既得:L2 。 2.顺时针旋转BPC 600 ,可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP,PE,EF 在一条直线上, 即如下图:可得最小 PA+PB+PC=AF。 第 14 页 共 15 页 既得 AF= = = 2 13 (1) 42 +23+ 42 3 2 + = = 2 ( 31) 2 +2 ( 31) 2 + = 。 62 2 + 3.顺时针旋转ABP 900 ,可得如下图: 既得正方形边长 L = = 。 22 22 (2)() 22 a+52 2 a+ 第 15 页 共 15 页 4.在 AB 上找一点 F,使BCF=600 , 连接 EF,DG,既得BGC 为等边三角形, 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF , 得到 BE=CF , FG=GE 。 推出 : FGE 为等边三角形 ,可得AFE=800 , 既得:DFG=400 又 BD=BC=BG ,既得BGD=800 ,既得DGF=400 推得:DF=DG ,得到:DFEDGE , 从而推得:FED=BED=300 。
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