1 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数数学（预测卷一）学（预测卷一） 一、单选题。本大题共一、单选题。本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的分。在每小题给出的 4 个选项中，个选项中， 有且只有一项是符合题目要求。有且只有一项是符合题目要求。 1.设集合4 2 xxM，集合2x1 xN，则NCM=（） A.12-xxB.01-2-，xC.-2x xD.20 xx 2.若复数Z满足2i)-1 (iZ，则下列说法正确的是（） A.Z的虚部为iB.Z为实数C.2ZD.iZZ2 3.2020 年 4 月 20 日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防 护工作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相 关的服务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不 同的安排方法数为n，则满足不等式 2 ) 1( 2 mm Cn的最小正整数m的值为（） A.36B.42C.48D.54 4.九章算术（卷第五）商功中有如下问题：“今有冥谷上广二 丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文 为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，长 7 丈；下 底宽 8 尺，长 4 丈，深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（） （注：1 丈=10 尺） A.45000 立方尺B.52000 立方尺C.63000 立方尺D.72000 立 方 尺 5.2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资， 并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁， 和有 4 个需要援助的国家 可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 A=“4 个医 疗小组去的国家各不相同”，事件 B=“小组甲独自去一个国家”，则)/(BAP（） 2 A. 9 2 B. 3 1 C. 9 4 D. 9 5 6.习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为 全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安 全感都离不开健康为响应习总书记的号召，某村准备将一块边 长为 2 km 的正三角形空地（记为ABC）规划为公园，并用一条 垂直于 BC 边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以 绿化为主，一部分以休闲健身为主如图，xBC轴，小路记 为直线)20(mmx ，小路右侧为健身休闲区，其面积记为)(mf，则函数)(mfS 的 图像大致为（） A.B.C.D. 7.已知BC是圆4: 22 yxO的直径，H为直线4 yx上任意点则HCHB的最小值 为（） A.4-22B.22C.4D.8 8.若函数0,)2()( 2 axeaaexf xx ，若)(xf有两个零点，则a的取值范围为（） A.10，B.10，C. e e ， 1 D. e e ， 1 二、多选题。本大题共二、多选题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分。分。 9.已知 21 FF，分别是双曲线1 22 yxC：的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶 3 点的一点，且向量0 21 PFPF，则下列结论正确的是（） A.双曲线C的渐近线方程为xyB. 以 21F F为 直 径 的 圆 的 方 程 为 1 22 yx C. 1 F到双曲线的一条渐近线的距离为 1D. 21 FPF的面积为 1 10.已知函数1sin22sin)( 2 xxxf，给出下列四个结论，其中正确的结论是（） A.函数)(xf的最小正周期是2B.函数)(xf在区间 8 5 8 ，上是减函数 C.函数)(xf的图象关于直线 8 x对称 D.函数)(xf的图象可由函数xy2sin2的图象向左平移 4 个单位得到来源:学科网 ZXXK 11.设正项等差数列 n a满足202)( 92 2 101 aaaa，则（） A. 92a a的最大值为 10B. 92 aa 的最大值为102 C. 2 9 2 2 11 aa 的最大值为 5 1 D. 4 9 4 2 aa 的最小值为 200 12.下列命题中，正确的命题的是（） A.已知随机变量服从二项分布),(pnB，若30)(xE，20)(xV，则 3 2 P B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C.设随机变量服从正态分布) 1 , 0(N，若pP) 1( ，则pP 2 1 )0-1( D.某人在 10 次射击中，击中目标的次数为X，)0.810(，BX，则当8X时概率最大 三、填空题。本大题共三、填空题。本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.直线bkxl:与圆5)2() 1( : 22 yxC交于BA,两点，C为圆心，若2CBCA，则 AB=. 14.在ABC中， 角CBA,的对边cba,成等差数列， 且90CA， 则Bcos 4 . 15.如图，在三棱锥BCDA中，点 E 在 BD 上，EAEBECED，CDBD2，ACD 为正三角形， 点M， N分别在AE， CD上运动 （不含端点） ， 且AMCN， 则当四面体EMNC 的体积取得最大值 3 2 时，三棱锥BCDA的外接球的表面积为 16.斜线 OA 与平面成 15角，斜足为 O， A为 A 在内的 射影，B 为 OA 的中点，l 是内过点 O 的动直线若l上存在点 21 PP，使30 21 BAPBAP，则的 AB PP 21 最大值 是，此时二面角 A-P1P2-A的平面角的正弦值是 四、解答题。本大题共四、解答题。本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤 等。等。 17.（10 分）已知 sin 1 - sin 1 ，且)lg(cos有意义. （1）试判断角所在的象限； （2）若角的终边上一点), 5 3 (mM，且1OM（O 为坐标原点），求m的值及sin的 值. 18.（12 分）已知命题11：xxxP，使0 2 mxx。不等式0)2)(axax 的解集为 N，不等式0 2 1 x x 的解集为 Q. （1）若 P 为真命题，求实数 m 的取值集合 M； （2）若Nx是Qx的必要条件, 求实数 a 的取值范围 19.我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“3+2+1”， 成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性 考试科目成绩构成。为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查 50 人（把年龄在 5 4515，称为中青年，年龄在7545，称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁）2515，3525，4535，5545，6555，7565， 频数515101055 了解4126521 （1） 请根据上表完成下面 22 列联表， 并判断是否有 95%的把握认为 对新高考的了解 与年龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考不了解新高考总计 中青年 中老年 来源:Zxxk.Com 总计 附： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K . )( 2 kkP0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 （2）现采用分层抽样的方法从中老年人 中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行 深入调查，求事件 A：“恰有一人年龄在5545，”发生的概率. 20.（12 分）如图所示，在正方体 1111 -DCBAABCD中，1 1 AA （1）求证：CABD 1 ； （2）求证：平面 1 BDC平面CBA 11 ； （3）用一张正方形的纸把正方体 1111 -DCBAABCD完全包住，不将纸 撕开，求所需纸的最小面积（结果不要求证明） 6 21.（12 分）已知函数1)( xxf，1ln)(xxg （1）求证：)()(xgxf有两个不同的实数解； （2）若)()()(xfxgmxg在1x时恒成立，求整数 m 的最大值 22.（12 分）已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 3 3 ，以原点为圆心，椭圆短半轴 长为半径的圆与2 xy相切 （1）求 a 与 b； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为 1 F和 2 F，直线l过 2 F且与x轴垂直，动直线 2 l与y轴 垂直， 2 l交 1 l与点P求 1 PF线段垂直平分线与 2 l的交点 M 的轨迹方程，并说明曲线类 型 7 来源:Zxxk.Com 1.A2.C3.A 4.B5.A6.C 7.C8.A9.ACD 10.BC11.ABD 12.BCD 13.6 14. 4 3 15.32 16.2， 2 2-6 17.解：(1)由=-,得0, 所以是第四象限角. (2)因为|OM|=1,所以+=1, 解得 m=. 又为第四象限角,故 m0,从而 m=-, =-. 18.解： （1）“,使得”为真命题, 方程在上有解, 即 m 的的取值范围就是函数在上的值域, 由 于, . 若的必要条件, , 集合 Q=-1,2）,当时, 8 ; 当时,解集 N 为空集, 不满足题意,舍去； 当时, . 综上. 19.解：（1）依题意，列联表如图所示， 的观测值， 所以有 95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年 、中老年）有关联. （2）由表格数据得到抽取的 8 人中：年龄在中的有 4 人，年龄在中 的有 2 人，年龄在中的有 2 人. 从 8 人中抽取 2 人的方法有=28 种，其中恰有一人年龄在被抽中的方法有 =16 种. 所以. 20.解：（1）证明：连结 AC，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 底面 ABCD 是正方形，ACBD， AA1平面 ABCD，BDAA1， AA1AC=A，BD平面 A1AC， A1C平面 A1AC，BDA1C （2）证明：侧面 BCC1B1 是正方形，BC1 B1C， A1B1平面 BCC1B1，A1B1BC1， A1B1B1C=B1，BC1平面 A1B1C， BC1平面 BDC1，平面 BDC1平面 A1B1C； （3）用一张正方形的纸把正方体 ABCD-A1B1C1D1 完全包住， 不将纸撕开，所需纸的最小面积为 8 21.解：（1）证明：由 f（x）=g（x）得 x-lnx-2=0， 令 h（x）=x-lnx-2，则， 当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递减； 当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递增 了解新高考 不了解新高考总计 中青年22830 老年81220 总计302050 9 所以 h（x）的最小值为 h（1）=-10， 而当 x0 时，h（x）+，当 x+时，h（x）+， 故 f（x）=g（x）有两个不同的实数解 （2）g（x）m-g（x）f（x）在 x1 时恒成立， 即 xlnx+xm（x-1）在 x1 时恒成立， 所以在 x1 时恒成立， 设，则， 由（）m（x）=0 有唯一零点 x01，即 x0-lnx0-2=0， 又 h（3）=1-ln30，h（4）=2-ln40， 所以 x0（3，4），且当 x（1，x0）时，m（x）0， 当 x（x0，+）时，m（x）0， 所以， 由题意，得 mx0，且 x0（3，4）， 因此整数 m 的最大值为 3 22.解：（1）e=，=， 又 b=，a=，b= （2）由（1）知 F1，F2 分别为（-1，0），（1，0）， 由题意可设 P（1，t），（t0）那么线段 PF1 中点为 N（0，）， 设 M（x，y）是所求轨迹上的任意点，由=（-x，-y），=（-2，-