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高三数学单元练习题:函数()一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1已知集合A=R,B=R+,f:AB是从A到B的一个映射,若f:x2x1,则B中的元素3的原象为 ( )A1B1C2D3 2函数f(x)的定义域是( )A,0B0,C(,0)D(,)3设f(x)|x1|x|,则ff() ( )A B0 C D14若函数f(x) = + 2x + log2x的值域是 3, 1, 5 + , 20,则其定义域是 ( )(A) 0,1,2,4(B) ,1,2,4(C) ,2,4(D) ,1,2,4,85反函数是 ( )A. B.C. D.6.若任取x1,x2a,b,且x1x2,都有成立,则称f(x) 是a,b上的凸函数。试问:在下列图像中,是凸函数图像的为 ( ) (A) (B) (C) (D)7.函数f(x)=在区间(2,)上单调递增,则实数a的取值范围是( )A(0,)B( ,) C(2,)D(,1)(1,)8下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是 ( )A. B. C. D.9设函数| + b+ c 给出下列四个命题:c = 0时,y是奇函数b0 , c 0时,方程0 只有一个实根y的图象关于(0 , c)对称方程0至多两个实根 其中正确的命题是 ( )A、 B、 C、 D、 10已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数F(x),定义如下:当f(x)g(x)时,F(x)=g(x);当f(x)0,使得|f(x)|M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数,给出下列函数:f(x)=0; f(x)=x2; f(x)=(sinx+cosx); f(x)=;f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意实数x1,x2,均有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|。则其中是F函数的序号是_三、解答题(本题共6小题,共74分)17(本小题满分12分)判断y=1-2x3 在(-)上的单调性,并用定义证明。18(本小题满分12分)二次函数f(x)满足且f(0)=1.(1) 求f(x)的解析式;(2) 在区间上,y= f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.19(本小题满分12分)已知函数(a,b为常数)且方程f(x)x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.(1)求函数f(x)的解析式; (2)设k1,解关于x的不等式;.20(本小题满分12分)已知某商品的价格上涨x%,销售的数量就减少mx%,其中m为正的常数。(1)当m=时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额最大?(2)如果适当地涨价,能使销售总金额增加,求m的取值范围21已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)x2+x)=f(x)x2+x.()若f(2)3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);()设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.22(本小题满分14分)已知函数有如下性质:如果常数0,那么该函数在0,上是减函数,在,上是增函数(1)如果函数(0)的值域为6,求的值;(2)研究函数(常数0)在定义域内的单调性,并说明理由;(3)对函数和(常数0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例(4)(理科生做)研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明),并求函数(是正整数)在区间,2上的最大值和最小值(可利用你的研究结论)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CADBBC BDC ABB二、填空题(13).2; (14). 2 ;(15). (-1)(3,+) ;(16). 三、解答题17证明:任取x1,x2R,且-x1x2x1x0-x10,又(x1+x2)2+x120, f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2)故f(x)=1-2x3在(-,+)上为单调减函数。或利用导数来证明(略) 18. 解: (1)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.f(x+1)-f(x)=2x,a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,所以,f(x)=x2-x+1. (2)由题意得x2-x+12x+m在-1,1上恒成立.即x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立.设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在-1,1上递减.故只需g(1)0,即12-31+1-m0,解得m-1. 19解:(1)将得(2)不等式即为即当当.20解:(1)设商品现在定价a元,卖出的数量为b个。由题设:当价格上涨x%时,销售总额为y=a(1+x%)b(1mx%), 即 ,(0x),取m=得:y=,当x=50时,ymax=ab,即:该商品的价格上涨50%时,销售总金额最大。(2)二次函数,在上递增,在上递减,适当地涨价能使销售总金额增加,即 在(0,)内存在一个区间,使函数y在此区间上是增函数,所以 , 解得,即所求的取值范围是(0,1)21解:()因为对任意xR,有f(f(x)x2 + x)=f(x) x2 +x,所以f(f(2) 22+2)=f(2)22+2.又由f(2)=3,得f(322+2)322+2,即f(1)=1.若f(0)=a,则f(a02+0)=a02+0,即f(a)=a.()因为对任意xR,有f(f(x)x2 +x)=f(x)x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xR,有f(x)x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)x + x0= x0,又因为f(x0) x0,所以x0x=0,故x0=0或x0=1.若x0=0,则f(x) x2 +x=0,即f(x)= x2 x.但方程x2 x=x有两上不同实根,与题设条件矛质,故x20.若x2=1,则有f(x)x2 +x=1,即f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数为f(x)= x2 x+1(xR) 22解:(1)易知,时,。(2)是偶函数。易知,该函数在上是减函数,在上是增函数; 则该函数在上是减函数,在上是增函数。(3)推广:函数,当为奇数时,是减函数;,是增函数。 ,是增函数;,是减函数。当为偶数时,是减函数;,是增函数。 ,是减函数;,是增函数。(4)(理科生做)当时,。 ,是减函数;,是增函数。 函数在区间,2上的最大值为,最小值为。
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