2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛规则（一下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 毛申申 2. 马甜甜 3. 安兴雪 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张新功 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格）。日期： 2014年 7 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：C题 单独二胎政策的影响评估 摘要 中国是一个人口大国，人口问题一直是制约我国发展的关键因素之一.对单独二胎政策的实行的影响进行评估具有重要意义.本文利用MATLAB2012a软件对评估因素总人口数、人口总和生育率、人口老龄化和老人抚养比等进行了预测.对于问题1，根据我国建国之后的人口数量，利用灰色模型的求解方法，预测出实行单独二胎政策和不实行单独二胎人口总量的变化.结果表明，实行单独二胎政策后，我国的总人口不会有较大的增幅.对于问题2，现在中国的总和生育率（平均一对夫妇生育子女数）为1.5-1.6,不利于人口的均衡发展，依据我国人口总和生育率的定义，建立了总和生育率模型，预测出实行单独二胎政策后的总和生育率变化，根据求解的结果可以看出，实施单独二胎政策将使我国总和生育率有一个相对显著地回升，但在累积效应释放后，会渐趋于平衡.对于问题3，建立一个动态差分模型和灰色预测模型，预测未来我国65岁以上人口变化趋势，进而根据是否实行单独二胎政策来进行老龄化程度的比较，结果表明，实行单独二胎政策有利于减弱老龄化程度和降低老人抚养比.关键词 单独二胎政策；总人口；总和生育率；动态差分模型；灰色预测模型； 老龄化程度 1 问题重述近三十年来，我国的人口政策，特别是计划生育政策在控制人口数量方面取得了突出的成绩，但是随之也带来了一系列问题.如总和生育率降低、男女性别比例增大、社会抚养比增加，给我国社会发展带来了巨大的负担.十八大提出了开放了单独二胎的政策，以此来缓解一系列人口问题.本文结合实际情况的分析，建立单独二胎政策实施之后的预测模型，对全国总人口数量、人口总和生育率、人口老龄化等一系列评价指标进行了预测，基于以上评估因素对单独二胎政策的影响进行评估.本文主要建立数学模型，研究分析实行单独二胎政策后，我国总人口数、总和生育率、人口老龄化的变化的问题.(1)实行单独二胎政策后，对全国总人口的变化的影响.根据建国初期到现在我国的人口数量变化，利用灰色模型的求解方法，预测出实行单独二胎政策和不实行单独二胎人口总量的变化.(2)实行单独二胎政策后对我国的总和生育率的影响，总和生育率如果长期低于1.8，或长期在1.51.6水平上徘徊，不利于人口的均衡发展.而目前我国的总和生育率为1.5左右，因此，开放单独两孩政策后，预测出未来几年的总和生育率发展状况.(3)实行单独二胎政策后对我国老龄化问题的影响.老龄化问题对社会的发展具有重要影响，老龄化程度的增加和老人抚养比的升高，将会影响我国经济的发展，但按照目前的人口发展速度，我国的老龄化程度和社会抚养比将持续走高，因此，将对实行单独二胎政策后的老龄化和老人抚养比的变化进行预测.最后根据以上评估因素的求解结果，来对单独二胎政策的影响进行总的评估.2 模型假设(1)收集到的数据真实有效.(2)在模型预测时间内，人口不会因自然灾害、突发事故或战争等而受到大的波动.(3)少量的人口迁入和迁出可忽略.(4)人口增长只与人口基数、生育、死亡和老龄化有关.(5)某段时间内，死亡率不会发生大的波动，不同年龄段的人口分布也不随时间发生变化.(6)假设申请成功的夫妇就可以成功生育二胎.(7)时间t以年为单位，年龄按周岁计算. 3 符号说明与名词解释符号符号说明mt年的新生人数nt年相应育龄妇女人数a发展系数B参数矩阵X总人口岁时间变化的拟合函数数据向量原始时间序列 男性人口的最小二乘法拟合函数女性人口的最小二乘法拟合函数人口增长函数初始年人口容量人口最大容量人口总量函数名词名词解释总和生育率指该国家或地区的妇女在育龄期间，每个妇女平均的生育子女数人口老龄化指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态过程老年抚养比指人口中非劳动年龄人口数中老年部分对劳动年龄人口数之比人口红利一个国家的劳动年龄人口占总人口的比重较大，抚养率较低，为经济发展创造了有利条件4 模型建立4.1 总人口预测模型 对全国总人口问题的研究是一个非常复杂的问题，需要考虑到诸多因素，如出生率、死亡率，流动人口等，这里将采用灰色模型的预测方法来对是否实行单独二胎政策对全国人口总量的影响.在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM.它是根据关联度，生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程.通常GM表示为GM（n,h）.当n=h=1时，即构成了单变量一阶灰色预测模型.模型设原始序列为:这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将进行生成处理，提供更多的有用信息.其形式为：.设原始时间序列为： .预测第n+1期，第n+2期，第期的值：设相应的预测模型模拟序列为：.设的一次累加序列为:. .利用计算GM（1,1）模型参数为a和，令 .则有:式中B= . .由此可得GM（1,1）模型： .4.2总和生育率预测模型已知总和生育率= .设t年新生人数为m，相应育龄妇女人数为n，所以得：第i年龄别生育率为= .则总和生育率为=,i=15,16,49.实施二胎政策之后 .第i年龄别生育率为 = .则此时的总和生育率为 = ,i=15,16,49.4.3 人口老龄化预测模型 我们将全国人口按照由小到大分为n段（n足够大），记为 ， , .设第t年第i个阶段的妇女生育率为 ， 为性别比例函数，则生育率为 ，第t年第i段人口记为 ，第t年年龄为 的人口数与的比值为 ，第t年底i段人口自然死亡率为 ，通过分析我们容易看出，第i段人口在相邻两年之间的人口变化来自：当i=1时有两个途径：（1） 岁的人口转到 阶段以及自身的死亡；（2）其他年龄段中妇女生育的小孩.当i1时有两个途径：（1）岁的人口转到阶段以及自身的死亡；（2）上一年人口转化而来.即有， . i=1,2,n. 写成矩阵形式如下：. .即 .递推得： .由此，只要知道t=1时的人口数据，就能依次得到之后美奶奶各个年龄段的人口数据，进而可预测未来老年人口的数量.育龄妇女妇女的年龄一般是从15-49岁，老龄人口的年龄一般是65-90岁，将模型简化.令n=4，将全国人口分为0-14,15-49,50-64,65-90四个年龄段，即有， .A=.5模型求解5.1总人口预测模型求解单独二胎政策实施后，国家人口总数较不实施单独二胎会有增长，据有关数据数据显示，单独二胎政策实施后，每年将多增加100万人，但这也仅是在短期内，随着时间的推移，生育会逐渐走向正常，因此，可以用灰色模型来研究短期内单独二胎对中国总人口的影响.根据表1中的数据，可以看出从1990年到2013年中国人口的数量表1： 1990-2013年全国总人口年份/年数量（万人）年份/年年份（万人）19901143332002128453199111582320031292271992117171200412998819931185172005130756199411985020061314481995121121200713212919961223892008132802199712362620091334501998124761201113473519991257862012135404200012662720131360722001127627利用灰色模型可以对2014-2030年的人口数量的预测，可在Matlab上实现，具体程序见附录一，所得到的结果如图1：图1：2014-2030年的人口数量的预测经过Matlab对灰色模型的求解，如果不实行单独二胎政策，到2030年我国人口总数将达到15.4亿，假设根据有关报道的数据，实行单独二胎政策后，每年的人口将多增加100万，则实施单独二胎政策后的人口数量和不实施单独二胎政策的人口数量的比较如图2：图2：实行单独二胎与否的人口数量变化实施单独二胎政策后，到2030年，我国的人口数量将达到15.7亿，有图3和相关数据可知，实施单独二胎政策后人口不会出现较大的增幅. 5.2 总和生育率预测模型求解根据有关资料（附录五），可以查出2003-201