高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 1 - 直线形面积计算的五个模型 知识点精讲 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB为公共边，所以 21 : ABCABDssh h 为公共的高，所以 1 h 12 :BD DC s s （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 2 1 :) ( ABDCDE BD DC h ssh 比如：两个三角形的底的比是 5:3，与各自底对应的高的比是 7:6， 那么他们的面积的比是（57）：（36） 二、鸟头模型（共角模型） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 互补，BACDAC和: DACBAC DAAC BAAC ss 所以 E: E: DABAC DAABAAC ss A为公共角，所以 推理过程：连接 BE，运用等积变换模型证明。 三、蝴蝶定理模型 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 2 - 1任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 或者 1243 : s ss s 1342s ss s 14231243 + AO:OC s ss ss ss s ： （）：（+ ） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型， 一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到 与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :ab s s ： 22 1324 : : ab s s s s ：ab：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 2、 ADAEDEAF ABACBCAG 22 : ADEABC ssAFAG 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小 怎样改变，他们都是相似的） ，与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。 五、燕尾定理 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 3 - : ABGACGBGECGE ssssBE CE : BGABGCGAFGCF ssssAF CF : AGCBGCAGDBGD ssssAD BD 课堂例题与练习 等积变换模型部分：等积变换模型部分： 1. 如下图,BC=3BE,AC=4CD那么,三角形的面积是 6，那么三角形面积的是多少？AEDABC 2.如下图，四边形 ABCD 是直角梯形。其中 AD=12（厘米） ，AB=8（厘米） ，BC=15（厘米） ， 并且三角形 ADE、四边形 DEBF、三角形 CDF 的面积相等，请问阴影三角形 DEF 的面积是多少？ 3.如下图，在三角形 ABC中，BC是 DC的 3倍，AC是 EC的 3倍三角形 DEC的面积是 3平方厘米请问：三角形 ABC的面积是多少平方厘米？ 4如下图，E 是 BC上靠近 C的三等分点，且 ED是 AD的 2倍三角形 ABC的面积是 36 平方厘米三角形 BDE 的面积是多少平方厘米？ 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 4 - 5如下图所示，已知三角形 BEC的面积等于 20平方厘米，E是 AB边上靠近 B点的四等分 点三角形 AED 的面积是多少平方厘米？ 6. 如下图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积为 36，三角形 AOD的面积为 8三角形 BOC 的面积为多少？ 7.如下图,正方形的边长为 12, 是边上的任意一点,、分别是边ABCDPABMNIH 、上的三等分点,、是边上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少？BCADEFGCD 鸟头模型部分：鸟头模型部分： 1.如图在 ABC 中， ,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB ， :4:7AE AC ， 16 ADE S 平 方厘米，求 ABC 的面积 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 5 - E D C B A 2.如图，三角形ABC中，AB是AD的 5倍，AC是AE的 3倍，如果三角形ADE的面积等于 1， 那么三角形ABC的面积是多少？ E D CB A 3.如图在 ABC 中，D在BA的延长线上，E在AC上，且 :5:2AB AD ， :3:2AE EC ， 12 ADE S 平方厘米，求 ABC 的面积 E D C B A 4.如图所示，在平行四边形 ABCD中，E为 AB的中点， 2AFCF ，三角形 AFE(图中阴影 部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？ 5、已知 DEF 的面积为7平方厘米， ,2,3BECE ADBD CFAF ，求 ABC 的面积 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 6 - F E D C B A 6、如图，三角形ABC的面积为 3平方厘米，其中 :2:5AB BE ， :3:2BC CD ，三角形BDE 的面积是多少？ A B E C D D C E B A 7.如下图所示，把三角形 DEF 的各边向外延长一倍后得到三角形 ABC，三角形 ABC 的面积为 1。请问：三角形 DEF 的面积是多少？ 8.如下图所示，把四边形 ABCD 的各边都延长一倍，得到一个新四边形 EFGH。如果 ABCD 的 面积是 5 平方厘米，那么请问：EFGH 的面积是多少平方厘米？ 9.如图 BE=EF=FC，BD=2AD，AC=3CG，三角形 ABC的面积为 36，求阴影部分的面积。 10.如图，点 D、E、F 与点 G、H、N 分别是三角形 ABC与三角形 DEF各边的中点。如果三 角形 ABC 的面积是 48，那么，阴影部分的面积是多少？ 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 7 - 其他部分：其他部分： 1.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，、这三块的面积分别是 2、8、58， 则、这两块的面积差是 。 2. 右图中平行四边形的面积是 1080m2，则平行四边形的周长为 m。 3. 在长方形 ABCD 中，BE5, EC4, CF4, FD1,如图所示，那么AEF的面积是 _. 4. 两个正方形如图放置，图中的每个三角形都是等腰直角三角形若其中较小正方形的边 长为 12cm，那么较大正方形的面积是 cm 2 5. 如右图，一个面积为 2009平方厘米的长方形，被分割成了一个长方形、两个等腰直角三 角形、三个梯形已知除了阴影长方形外，其它的五块面积都相等，且 B是 AC的中点；那 么阴影长方形的面积是多少平方厘米 F E 4 A B 54 C D 1 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 8 - 6. 如图，等腰直角三角形 DEF的斜边在等腰直角三角形 ABC的斜边上，连接 AE、AD、 AF，于是整个图形被分成五块小三角形.图中已标出其中三块的面积，那么ABC面积是 _. 7. 直角边长分别为 18厘米、10厘米的直角ABC 和直角边长分别为 14厘米、4厘米的直角 ADE 如图摆放M为 AE的中点，则ACM的面积为_平方厘米。 课后复习与检测 课后总结：课后总结： 1. 等积变换模型为基础和重点，要能够熟练应用； 2. 鸟头定理提供了简便的结论，能缩减思维过程，提高做题效率，也要熟知熟用； 3. 蝴蝶定理（包括四边形和梯形） ，为五年级考试重点内容，熟知熟用； 4. 相似模型与燕尾定理为附加内容，难题中有可能用到。了解并能简单应用； 5. 解题时，应从上述五个模型出发，予以检验，从而找出解题思路。 6. 四年级所学面积公式，正方形面积、割补法求面积等。 练习题：练习题： 1.如下图，E 是 BC上靠近 C的三等分点，且 ED是 AD的 2倍三角形 ABC的面积是 36 平 方厘米三角形 BDE 的面积是多少平方厘米？ 2 3 1 A BC AB C D E M 1 4 4 4 1 0 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 9 - 2.如下图所示，三角形 ABC的面积是 180平方厘米，D是 BC的中点，AD是 AE的 3倍。 请问：三角形 ABE 的面积是多少平方厘米？ 3.下图中,三角形的面积是 30 平方厘米,是的中点,的长是的长的 2 倍,那ABCDBCAEED 么三角形的面积是多少平方厘米？CDE 4.如下图所示，长方形 ABCD的面积是 96平方厘米，E是 AD 边上靠近 D点的三等分点，F 是 CD 边上靠近 C 点的四等分点阴影部分的面积是多少平方厘米？ 5.如图,长方形中, =24cm,=26cm,是的中点,、分别是、的四ABCDABBCEBCFGABCD 等分点, 为上任意一点,求阴影部分面积是多少？HAD 6.如下图所示，正方形 ABCD的面积为 1，把每条边都 3等分，然后将这 8个等分点与正方 形内部的某一点 P 相连接，形成 4个阴影的四边形和 4个空白的三角形阴影部分的总面积 是多少？ 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课程 - 10 - 7.如下图，AD DB ，AE EFFC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米， ABC 的面积是 平方厘米 8.如下图所示，四边形 ABCD内有一点 O，O点到四条边的垂线都是 4厘米四边形的周长 是 36 厘米四边形的面积是多少平方厘米？ 9. 如下图，有 9 个小长方形，其中的 5个小长方形的面积分别为 4,8,12,16,20平方米。请问， 其余 4 个小长方形的面积分别是多少平方米？ 10. （1）如下图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加 2 厘米和 4 厘米，结果面积增加 了 50 平方厘米（阴影部分） 。请问：原正方形的面积为多少平方厘米？ （2）把一个正方形的相邻两边分别减少 3 厘米和 5 厘米，结果面积减少了 65 平方厘米 （阴影部分） 。请问：原正方形的面积为多少平方厘米？ 高思学校顶级教研团队为您量身定制最适合的课