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1 圆圆 一圆的认识 知识点晴 1圆的定义 (1)在一个平面内,线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周, 另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径,如右图所示。 (2)圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集 合,定点为圆心,定长为圆的半径。 说明:圆的位置由圆心确定,圆的大小由半径确定,半 径相等的两个圆为等圆。 2圆的有关概念 (1)弦:连结圆上任意两点的线段。 (如右图中 的 CD) 。 (2)直径:经过圆心的弦(如右图中的 AB) 。 直径等于半径的 2 倍。 (3)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧。 (如 右图中的、) CD CAD 其中大于半圆的弧叫做优弧,如,小 CAD 于半圆的弧叫做劣弧。 (4)圆心角:如右图中COD 就是圆心角。 3与圆相关的角 (1)与圆相关的角的定义 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角 圆周角:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 (2)与圆相关的角的性质 圆心角的度数等于它所对的弦的度数; 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 同弧或等弧所对的圆周角相等; 半圆(或直径)所对的圆周角相等; 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角; 两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等; 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 (1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等。 (2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一 组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 A O B C D O A r 2 例题精讲 【例1】 下面四个命题中正确的一个是( ) A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧 【答案】C 二与圆有关的位置 关系 知识点晴 1点与圆的位置关系 如果圆的半径为 r,某一点到圆心的距离为 d,那么: (1)点在圆外dr (2)点在圆上dr= (3)点在圆内dr (2)直线和圆相切,直线与圆有唯一交点;dr= (3)直线和圆相交,直线与圆有两个交点。dr+ (2)两圆外切;dRr=+ (3)两圆相交;()RrdRr Rr- (5)两圆内含。 (注意:如果为,则两圆为同心圆。 )()dRr Rr0d = 4. 切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 NM A O 3 推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这 点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:、是的两条切线 PAPB PAPB 平分POBPA 例题精讲 【例2】 已知O 的半径为 1,点 P 到圆心 O 的距离为 d,若关于 x 的方程 x22xd=0 有 实根,则点 P( ) A在O 的内部B在O 的外部 C在O 上D在O 上或O 的内部 【答案】D 【例3】 已知:如图,PA,PB 分别与O 相切于 A,B 两点求证:OP 垂直平分线段 AB 【答案】略 【例4】 已知:如图,PA 切O 于 A 点,POAC,BC 是O 的直径请问:直线 PB 是 否与O 相切?说明你的理由 【答案】直线 PB 与O 相切提示:连结 OA,证PAOPBO P B A O 4 【例 5】已知 : 如图,O1与O2外切于 A 点,直线 l 与O1、O2分别切于 B,C 点,若O1 的半径 r1=2cm,O2的半径 r2=3cm求 BC 的长 【答案】cm62提示:分别连结 O1B,O1O2,O2C 【例 6】 如图, 点 A, B 在直线 MN 上, AB=11cm, A, B 的半径均为 1cm A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动,与此同时,B 的半径也不断增大,其半径 r(cm)与时间 t(s) 之间的关系式为 r=1t(t0) (1)试写出点 A,B 之间的距离 d(cm)与时间 t(s)之间的函数表达式; (2)问点 A 出发多少秒时两圆相切? 【答案】(1)当 0t5.5 时,d112t; 当 t5.5 时,d2t11 (2) 第一次外切,t3;第一次内切,; 3 11 t 第二次内切,t11;第二次外切,t13 三垂径定理及推论 知识点晴 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 O E DC B A O C D A B 5 即:在中,OABCD 弧弧ACBD 例题精讲 【例 7】在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度 为 16cm,那么油面宽度 AB 是_cm. 【答案】 4 159 【例 8】如图,F 是以 O 为圆心,BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点,ADBC 于 D,求证:AD=BF. 2 1 【答案】提示:连接 OF,证明 是全等三角形。,ADOFOEBOE 四圆周角定理 知识点晴 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在中,、都是所对的圆周OCD角 CD D C B A O C B A O 6 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角; 圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直 径。 即:在中,是直径 OAB 或90C 90C 是直径AB 推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形。 即:在中,ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 例题精讲 【例 9】已知:如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于 E,ACD=30,AE=2cm求 DB 【答案】cm.34 【例 10】已知:如图,O 的直径 AE=10cm,B=EAC求 AC 的长 【答案】提示:连结 CE不难得出cm.25AC C BA O C BA O 7 五 与圆有关的计算 知识点晴 1 圆周长:2cRp= 2 弧长:; 180 n R l p = 3 圆面积:; 2 SRp= 4 扇形面积:; 2 1 2360 n R SlR p = 扇形 例题精讲 【例 11】如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条 AB,AC 夹角为 120,AB 的长为 30cm, 贴纸部分 BD 的长为 20cm,则贴纸部分的面积为( ) A 2 cm100B 2 cm 3 400 C 2 cm800D 2 cm 3 800 【答案】D 【例 12】 已知 : 如图, 以线段 AB 为直径作半圆 O1, 以线段 AO1为直径作半圆 O2, 半径 O1C 交半圆 O2于 D 点试比较与的长 【答案】的长等于的长提示:连结 O2D 8 六圆幂定理 知识点晴 1.相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在中,弦、相交于点,OABCDP PA PBPC PD 推论:如果弦与直径垂直相交, 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。 即:在中,直径,OABCD 2 CEAE BE 2. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。 即:在中,是切线,是割线OPAPB 2 PAPC PB 3. 割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等(如上图) 。 即:在中,、是割线OPBPE PC PBPD PE 例题精讲 【例 13】如图,P 是O 外一点,PC 切O 于点 C,PAB 是O 的割线,交O 于 A、B 两点, 如果 PA:PB1:4,PC12cm,O 的半径为 10cm,则圆心 O 到 AB 的距离是_ P O D C B A OE D C B A D E C B P A O 9 【答案】9 七正多边形与圆 知识点晴 1.正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:;OABCRt BOD:1: 3:2OD BD OB 2.正四边形 同理,四边形的有关计算在中进行,:Rt OAE:1:1:2OE AE OA 3.正六边形 同理,六边形的有关计算在中进行,. .Rt OAB:1:3:2AB OB OA 例题精讲 【例 13】已知正多边形的边长为 a 与外接圆半径 R 之间满足,则这个多边形是12 a R ( ) A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 【答案】C 提示:正多边形的边数越多,则边长越小,而有RaR2 E CB AD O B A O D C B A O 10 因为,所以aR 6 aR 4 2aaa 64 则,是正五边形,应选 C。aaa 654 八课后练习题 【例 1】若 P 为半径长是 6cm 的O 内一点,OP2cm,则过 P 点的最短的弦长为( ) A12cmBcm22Ccm24Dcm28 【答案】D 【例 2】若O 的半径长是 4cm,圆外一点 A 与O 上各点的最远距离是 12cm,则自 A 点 所引O 的切线长为( ) A16cmBcm34Ccm24Dcm64 【答案】B 【例 3】O 中,AOB100,若 C 是上一点,则ACB 等于( ) A80B100C120D130 【答案】A 【例 4】三角形的外心是( ) A三条中线的交点B三个内角的角平分线的交点 C三条边的垂直平分线的交点D三条高的交点 【答案】C 【例 5】如图,A 是半径为 2 的O 外的一点,OA4,AB 是O 的切线,点 B 是切点, 弦 BCOA,则的长为( ) 7 题图 A 3 2 B 3 8 CD3 3 2 【答案】A 11 【例 6】 如图, 图中的五个半圆, 邻近的两半圆相切, 两只小虫同时出发, 以相同的速度从 A 点到 B 点,甲虫沿,路线爬行,乙虫沿路线爬行, 则下列结论正确的是( ) 8 题图 A甲先到 B 点B乙先到 B 点 C甲、乙同时到 B 点D无法确定 【答案】C 【例 7】如图,同心圆半径分别为 2 和 1,AOB120,则阴影部分的面积为( ) 9 题图 AB 3 4 C2D4 【答案】C 【例 8】如图,在O 中,AB 为O 的直径,弦 CDAB,AOC60,则B_ 【答案】30 【例 9】如图,将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为 _ 【答案】cm.32 12 【例 10】已知:如图,在两个同心圆中,大圆的弦AB切小圆于 C 点,AB12cm 求两个圆之间的圆环面积 【答案】36cm2提示:连接 OC,OA. 【例 11】如图,在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切,现用一个大圆片把这三 个圆完全覆盖,
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