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1 求数列通项公式方法归纳 一、公式法 例 1 已知数列 n a满足 1 232 n nn aa, 1 2a,求数列 n a的通项公式。 解: 1 23 2 n nn aa两边除以 1 2 n , 得 1 1 3 222 nn nn aa , 则 1 1 3 222 nn nn aa , 故数列 2 n n a 是 以1 2 2 2 a 1 1 为 首 项 , 以 2 3 为 公 差 的 等 差 数 列 , 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 , 得 3 1(1) 22 n n a n,所以数列 n a的通项公式为 31 ()2 22 n n an。 二、累加法 例 2 已知数列 n a满足 11 211 nn aana,求数列 n a的通项公式。 解:由 1 21 nn aan得 1 21 nn aan则 11232211 2 ()()()() 2(1) 12(2)1(22 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列 n a的通项公式为 2 n an。 例 3、在数列 n a 中, 31a , )1( 1 1 nn aa nn ,求通项公式 n a . 解:原递推式可化为: 1 11 1 nn aa nn 则 , 2 1 1 1 12aa 3 1 2 1 23aa 4 1 3 1 34 aa , nn aa nn 1 1 1 1 2 逐项相加得: n aan 1 1 1 . 故 n an 1 4 . 例 4 已知数列 n a满足 11 2313 n nn aaa,求数列 n a的通项公式。 解:由 1 231 n nn aa得 1 231 n nn aa则 所以31. n n an 例 5、已知数列 na满足11 32313 n nn aaa,求数列 na的通项公式。 解: 1 3231 n nn aa两边除以 1 3 n ,得 1 11 21 3333 nn nnn aa , 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ,故 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 ()1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 11 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann , 则 211 33. 322 nn n an 例 6 在数列 n a 中, 0 1 a 且 12 1 naa nn ,求通项 n a . 2 1 2 3211 3231n nn nan 小练: 已知 n a 满足 1 1 a , )1( 1 1 nn aa nn 求 n a 的通项公式。 3 已知 n a 的首项 1 1 a , naa nn 2 1 ( * Nn )求通项公式。 已知 n a 中, 3 1 a , n nn aa2 1 ,求 n a 。 三 、累乘法类型 nn anfa)( 1 型 例 7 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa,求数列 n a的通项公式。 解:因为 11 2(1)53 n nn anaa,所以0 n a,则 1 2(1)5 nn n a n a ,故 132 1 1221 1221 1(1)(2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(21) 5 2(11) 5 3 2 (1)3 253 325! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列 na的通项公式为 (1) 1 2 325!. n n n n an 例 8 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan, 求 n a的 通项公式。 解:因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn anan 故 1 1(2) n n a nn a 所以 13 222 122 ! (1)43. 2 nn n nn aaan aan naa aaa 4 由 1231 23(1)(2) nn aaaanan, 212 22naaa取得,则 21 aa, 又知 11a,则 2 1a,代入得 ! 1 3 4 5 2 n n an。 所以, n a的通项公式为 ! . 2 n n a 例 9在数列 n a 中, 1 1 a , 1 1 n n a a n n ,求通项 n a . 解 : 由 条 件 等 式 1 1 n n a a n n 得 , nn n n n a a a a a a n n n n 1 2 1 1 21 1 2 2 1 1 , 得 n an 1 . 练习: 1、已知: 3 1 1 a , 1 12 12 nn a n n a ( 2n )求数列 n a 的通项。 2、已知 na 中, nn a n n a 2 1 且 2 1 a 求数列通项公式。 四、待定系数法 )1,0( 1 ccdcaa nn 型 例 10 已知数列 n a满足 11 23 56 n nn aaa, ,求数列 n a的通项公式。 解:设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将 1 235 n nn aa代入式,得 1 2355225 nnn nn axax,等式两边消 去2 na,得 1 3 5525 nnn xx,两边除以5 n ,得352 ,1,xxx则代入式得 1 1 52(5 ) nn nn aa 由 1 1 56510a及式得50 n n a,则 1 1 5 2 5 n n n n a a ,则数列5 n n a是 以 1 1 51a为首项,以2 为公比的等比数列,则 1 52 nn n a,故 1 25 nn n a。 例 11 已知数列 na满足11 35241 n nn aaa,求数列 na的通项公式。 5 解:设 1 1 23(2) nn nn axyaxy 将 1 3524 n nn aa代入式,得 1 352423(2) nnn nn axyaxy 整理得(52 )24323 nn xyxy。 令 523 43 xx yy ,则 5 2 x y ,代入式得 1 1 5223(522) nn nn aa 由 1 1 5221 12130a及式, 得5220 n na,则 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a , 故数列522 n n a是以 1 1 5221 1213a为首项,以3 为公比的等比数列, 因此 1 522133 nn n a,则 1 133522 nn n a。 例 12 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna, ,求数列na的通项公式。 解:设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将 2 1 2345 nn aann代入式,得 222 2345(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz,则 22 2(3)(24)(5)2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去2 n a,得 22 (3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz, 6 解方程组 32 242 52 xx xyy xyzz ,则 3 10 18 x y z ,代入式,得 22 1 3(1)10(1)182(31018) nn annann 由 2 1 3 110 1 18131320a及式,得 2 310180 n ann 则 2 1 2 3(1)10(1) 18 2 31018 n n ann ann ,故数列 2 31018 n ann为以 2 1 3 110 1 1813132a为首项,以2 为公比的等比数列,因此 21 31018322 n n ann,则 42 231018 n n ann。 例 13数列 n a 满足 212 11 aaa nn , ,求 n a . 解:设 axax nn1 2() ,即 ,21xaann 对照原递推式,便有 x1. 故由 , 12 1nn aa 得 )1(21 1nn aa ,即 2 1 1 1 n n a a ,得新数列 1 n a 是以 1121 1 a 为首项,以2 为公比的等比数列。 (n=1,2,3 ) , 1 21 n n a ,即通项 12 1n n a 练习: 1、已知 n a 满足 3 1 a , 12 1nn aa 求通项公式。 2、已知 n a 中, 1 1 a , 23 1nn aa ( 2n )求 n a 。 分析:构造辅助数列, )1(31 1nn aa ,则 13 n n a 同类变式 1、已知数列 na 满足 )12(2 1 naa nn ,且 2 1 a ,求通项 n a 分析: (待定系数) ,构造数列 bknan 使其为等比数列, 即 )(2)1( 1 bknabnka nn ,解得 1, 2 bk 求得 1225 1 na n n 7 2、已知: 1 1 a , 2n 时, 12 2 1 1 naa nn ,求 n a 的通项公式。 解:设 )1( 2 1 1 BnAaBAna nn BAAnaa nn 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 BA A 解得: 6 4 B A 364 1 a 64nan 是以 3 为首项, 2 1 为公比的等比数列 1 ) 2 1 (364 n n na 64 2 3 1 na nn 3、已知数列 a n 满足 3a132a3a 1 n n1n , ,求数列 a n 的通项公式。 解: 132a3a n n1n 两边除以 1n 3 ,得 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a , 则 1nn n 1n 1n 3 1 3 2 3 a 3 a , 故 3 a ) 3 a 3 a () 3 a 3 a () 3 a a a () a a 3 a ( 3 a 1 1 1 2 2 3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n n n 3 3 ) 3 1 3 2 () 3 1 3 2 () 3 1 3 2 () 3 1 3 2 ( 22n1nn 1) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ( 3 ) 1n(2 22n1nnn 因此 n 1n n n n 32 1 2 1 3 n2 1 31 )31( 3 1 3 ) 1n(2 3 a , 则 2 1 3 2 1 3n 3 2 a nn n 8 例 7 已知数列 n a 的前 n 项和 n S 满足 naS nn 22 (1) 写出数列的前3 项 321 ,aaa ; (2) 求数列 n a 的通项公式 . 解: (1)由 22 111 aSa ,得 2 1 a . 由 42 2221 aSaa , 得 6 2 a , 由 321 aaa62 33 aS , 得 14 3 a (2) 当 2n 时, 有 22 11nnnnn aaSSa , 即 22 1nn aa 令 1 2 nn aa , 则 1 2 nn aa , 与比较得 , 2 2 n a 是以 42 1 a 为首项 , 以 2 为公比的等比数列. 11 22)4(2 nn n a ,故 22 1n n a 引申题目: 1、已知 n a 中, 1 1 a , n nn aa22 1 ( 2n )求 n a 2、在数列 n a 中, ,342, 1 1 11 n nn aaa 求通项公式 n a 。 解:原递推式可化为: )3(23 1 1 n n n n aa 比较系数得=-
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