1深圳高级中学等三校联考 2012-2013 高二上学期期末测试理科数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1函数 3yax有极值，则 a的取值范围为 （ ）A. 0 B. 0 C. 0 D. 0a2 在复平面内，复数 (12)zi对应的点位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，则正确的假设是（ ）A假设三内角都大于 60； B假设三内角都不大于 ；C假设三内角至多有一个大于 ；D 假设三内角至多有两个大于 604已知向量 (,1),(,2)ab，若向量 kab与向量 互相垂直，则 k的值是( ）.A 32 B.2 C 74 D. 545. 一个物体的运动方程是 3costx（ 为常数),则其速度方程为 （） cosin1vtt 3cosinvtt 3i 6. 下列命题的说法错误的是 （ ）A命题“若 20x，则 1x”的逆否命题为：“若 2130xx， 则 ”B “x=1”是 “ 3”的充分不必要条件C若 pq为假命题，则 p、q 均为假命题D对于命题 :xR，均有 210,:xpxR则 ，使得 210x7. 设椭圆21(0)ymnn，的右焦点与抛物线 28y的焦点相同，离心率为 2，则此椭圆的方程为 （ ）A.216xyB.216xyC.21486xD.21648xy8. 若函数 321()faa的图像经过四个象限，则实数 a的取值范围是（ ）2A 5316a B 83516a C 816a D 3516a二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 函数 ()2cosfxx 在 0,2上的最小值为 10. 观察下列不等式： 1， 123， 13272，1235， 5123，由此猜想第 n个不等式为()nN.11. 设si,0,2()1,xf，则 20()fxd为 .12. 已知 )573()34(CBA，点 )3,1(P在平面 ABC内，则 x 13若直线 2kxy与抛物线 xy82交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为 2，则此直线的斜率是_.14. 双曲线21xyab（ 0a， b）的左、右焦点分别是 12F， ，过 1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于 M点，若 2F垂直于 x轴，则双曲线的离心率为 _.三、解答题:（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （12 分）在曲线 2(0)yx上某一点 A处作一切线使之与曲线以及 x轴所围成的面积为 12，试求：切点 A的坐标；过切点 的切线方程16. （12 分）已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1 的一个焦点，并且x2a2 y2b23这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线的一个交点是 P ，求拋物(32，6)线方程和双曲线方程17. （14 分）三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱与底面垂直, 09ABC， 2 , NM分别是 , 1的中点 （1）求直线 MN 与平面 A1B1C 所成的角； （2）在线段 AC 上是否存在一点 E，使得二面角 E-B1A1-C 的余弦值为 103?若存在，求出 AE 的长，若不存在，请说明理由。18. （14 分）已知函数 321fxbxa， 2x是 )(xf的一个极值点（）求 ()fx的单调递增区间；（）当 0a时，求方程 0f的解的个数419. （14 分） 某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本 20 元，并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元（t 为常数，且 25t） ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元（2540x） ，根据市场调查，日销售量 q 与 xe成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为 30元时，且销售量为 100 公斤（每日利润=日销售量（每公斤出厂价-成本价-加工费） ） 。（1）求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式；（2）若 t=5，当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时，该工厂的利润 y 最大，并求最大值。20. （14 分）已知椭圆 012bayax的离心率为 ，长轴长为 4，M 为右顶点，12过右焦点 F 的直线与椭圆交于 A、B 两点，直线 AM、BM 与 x=4 分别交于 P、Q 两点，（P、Q 不重合） 。(1)求椭圆的标准方程；(2)求证： 05参考答案一、 选择题答案：（每题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A C B C B D二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 2 10. 11232n11. 3 . 12.11 13 2 14. 三、解答题:（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （12 分）解析如图所示，设切点 A(x0，y 0)，由 y2x，过 A 点的切线方程为 yy 02x 0(xx 0)，即 y2x 0xx .20令 y0 得 x ，即 0(,)Cx02设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S，BCOSS曲 边AB曲 边 02xd x ，1330CS|BC|AB|12 x x ，12(x0 x02) 20 1430即 S x x x .1330 1430 11230 112所以 x01，从而切点 A(1,1)，切线方程为 y2 x1.16. （12 分）解：设拋物线方程为 y22px(p0)，点 在拋物线上，62p ，p2，(32，6) 32所求拋物线方程为 y24x .双曲线左焦点在拋物线的准线 x1 上，c1，即 a2b 21，又点 在双曲线上，(32，6)6Error! ，解得Error! ，所求双曲线方程为 1，即2413yxx214 y23417. （14 分）解：（） 2()fxb. 是 的一个极值点， 是方程 0的一个根，解得32b. 令 ()0fx，则 23x，解得 1x或 2. 函数 yf的单调递增区间为 (, )， (,+). （） 5,6a当 或 时 ， 方 程 有 1个 解 ； 2,3当 或 时 ， 方 程 有 个 解 .56a当 时 ， 方 程 有 个 解 ；18. （14 分）解（1）如图，以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1-XYZ则 B1（0，0，0),C(0,2,2),A 1(2,0,0),B(0,0,2),则 M(1,0,2),A(2,0,2)，C(0,2,2) ,N(1,1,1) C1=(0,2,2), MN(0,1,-1), 1AB=(2,0,0）因为 01B ，且 0, 所以 MN平面 A1B1C 即 MN 与平面 A1B1C 所成的角为 900 （2）设 E（x,y，z),且 E=， 则（x-2,y,z-2)= （-2,2,0)解得 x=2-2,y=2 ,z=2， B1=(2-2 ,2 ,2) 由（1）可知平面 CA1的法向量为 MN(0,1,-1)，设平面 EBA1的法向量为 ),.(zyx，则 001EB且 ， 则可解得 ),0(， 于是 212521|3 或7由于点 E 在线段上，所以 = 21，此时 AE= 2 19. （14 分） 、解：（）设日销量 3030,xkqkee则 日销量 1x30(2)(54)xtyxe. （）当 5t时， xy13030(26)xey由 得 ， y由 得 25在 ， 上 单 调 递 增 ， 在 ， 4上 单 调 递 减 .max10,6ex时当 . 当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时，该工厂的利润最大，最大值为 410e元. 20. （14 分） 解：（1）由题意有 2,4a , ce, c, 32b椭圆的标准方程为 132yx （2）当直线 AB 与 轴垂直时，则直线 AB 的方程是 1x 则 A（1， 23）B（1，- ）AM、BM 与 x=4 分别交于 P、Q 两点，A,M,P 三点共线， AM， P共线可求 )3,4(P， )3,(F，同理： )3,4(， )3,(FQ 0 命题成立。 若直线 AB 与 x轴不垂直，则设直线 AB 的斜率为 k， （ 0）直线 AB 的方程为 ),1(xky又设 ),(,(),( 4321 yQPBA联立 342yxk消 y 得 0128)(22kxk 8 22121 43,438kxkx 22121 9)(y 又A 、 M、 P 三点共线， 13xy 同理 24xy )2,3(1xyF， )2,(FQ 04)(92121 xyP 综上所述： 0F