2020/9/1,1,第四章 位置运动学,2020/9/1,2,运动学处理运动的几何学以及与时间有关的量，而不考虑引起运动的力。 位置运动学则只处理运动的几何学，而不考虑运动的时间。 机器人的位置运动学存在有两类问题： 根据关节变量求手部位姿是位置运动学正问题； 根据手部位姿求关节变量是位置运动学逆问题，又称为手臂解。,笛卡尔空间又常称之为任务空间,2020/9/1,3,本章的主要内容 4.1 D-H参数的确定 4.2 从关节变量到手部位姿 运动学正问题 4.3 从手部位姿到关节变量 运动学逆问题,2020/9/1,4,4.1 D-H 参数的确定,具有n个关节自由度的机器人系统，其齐次矩阵可表示为,为建立运动学方程，要讨论相邻连杆运动关系，为此引入机器人学中的重要参数Denavit-Hartenberg参数，简称为D-H参数。,2020/9/1,5,4.1.1 以回转副连接的两杆件的 D-H参数的确定,定义: 在杆件i-1前端的坐标系 视为基础坐标系B，在杆件i前端的坐标系 视为运动坐标系H。,2020/9/1,6,2020/9/1,7,为了用D-H表示法对机器人进行建模，要做的第一件事就是为每个关节指定一个本地的参考坐标系。因此，对于每个关节，都必须指定一个z轴和x轴，通常不需要指定y轴，因为y轴总是垂直于x轴和z轴的。此外，D-H表示法可以不用y轴，以下是每个关节指定本地坐标系的步骤。,2020/9/1,8,（1）所有关节，无一例外地用z轴表示。如果是旋转关节，z轴位于按右手规则旋转的方向。若关节是滑动（平移）的，z轴定义为沿直线运动的方向。在每一种情况下，关节i处的z轴（以及该关节的本地参考坐标系）的下标为i-1。例如，表示关节数i+1的z轴是 。这些简单的规则可以使我们很快就能定义出所有关节的z轴。对于旋转关节，绕z轴的旋转（角 ）是关节变量。对于滑动关节，沿z轴的连杆长度是关节变量。,2020/9/1,9,关节通常不一定平行或相交。因此，通常z轴是斜线，但总有一条距离最短的公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。所以如果 表示 和 之间的公垂线，则 的方向将沿 。同样，在 和 之间的公垂线为 ， 的方向将沿 。注意相邻关节之间的公垂线不一定相交或共线，因此，两个相邻坐标系原点的位置也可能不在同一个位置。根据上面介绍的知识，并考虑下面例外的特殊情况，就可以为所有的关节定义坐标系。,2020/9/1,10,（3）若两个关节的z轴平行，那么它们之间就有无数条公垂线。这时可以挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线，这样做可以简化模型。,2020/9/1,11,（4）若两个相邻关节的z轴是相交的，那么他们之间就没有公垂线（或者说公垂线距离为零）。这时可以将垂直于两条轴线构成的平面的直线定义为x轴，也就是说，其公垂线是垂直于包含了两条z轴的平面的直线，它也相当于选取两条z轴的叉乘积方向作为x轴。这样也可以使模型得到简化。,2020/9/1,12,i-1和i 关节各坐标轴的定义,关节轴i-1和i的公共法线； 关节轴i和i+1的公共法线； 关节轴i和 的交点； 关节轴i+1和的交点； 轴沿着关节i的轴线方向； 轴沿着的延长线方向； 轴使构成右手坐标系。 轴沿着关节i+1的轴线方向； 轴沿着的延长线方向； 轴使构成右手坐标系。,2020/9/1,13, 和 的平行线绕轴 的转角，称为关节角； 和 之间的距离，称为横距； 公共法线的距离，称为杆件长度； 轴在 点处平行线与 轴绕 轴按右手法则 定义的夹角，称扭转角；,2020/9/1,14,4.1.2 变换矩阵的确立,若已知四个参数 、 、 及 就完全确定了连杆 和连杆 之间的相对关系。对此，我们建立 和 坐标系之间的变换关系。对于旋转关节可以确定以下的齐次矩阵,2020/9/1,15,4.1.2 变换矩阵的建立,2020/9/1,16,4.1.3 以移动副连接的两杆件的 D-H参数的确定,若杆件以移动副相连接时，则连杆的坐标系的建立与参数的规定同回转副连接的杆件的规定相类似，但是连杆的长度已经没有意义，故可以令其为零。可得齐次矩阵为,2020/9/1,17,4.2 从关节变量到手部位姿 运动学正问题,4.2.1 三种简化情况的齐次变换矩阵,只具有伸缩臂的操作机,关节变量是伸缩臂的长度d,2020/9/1,18,操作机,2020/9/1,19,简化转动关节,条件： 杆件均为 直杆，即为公共法线，与 x 轴重合。故 d=0,2020/9/1,20,4.2.2 运动学方程求解实例,6关节机器人手爪坐标系,6关节机器人手爪坐标系,a,n,o,P,0,X,0,Z,0,Y,H,Y,H,Z,H,X,2020/9/1,21,机器人的最后一个构件（手部）由三个自由度来确定位置，三个自由度确定其方向； 我们将描述其位置和方向的坐标系原点定在两个手指的中间，用一个向量P描述这个原点；三个向量 和 描述机器人的姿态； 当手部处于初始位置和姿态时，向量 指向手接近物体的方向，其单位向量 称为接近向量；向量 的单位向量 称为方向向量；向量 的单位向量 称为法线向量。,2020/9/1,22,6关节机械手的端部对基座的关系 可用下列矩阵表示,2020/9/1,23,变换Z机器人与参考坐标系（外部世界坐标系）的相对关系， 变换E机器人与其端部工具的关系， 变换X此工具端部相对外部参考坐标系的位置和方向,2020/9/1,24,具有6个简化转动关节的操作机,由6个简化转动关节组成的操作机,6个简化转动关节的操作机由转动坐标臂和手腕组成。,2020/9/1,25,6关节操作机齐次矩阵中的D-H参数,对于简化转动关节=0,2020/9/1,26,2020/9/1,27,2020/9/1,28,斯坦福机器人的求解,斯坦福机器人由球面坐标臂和手腕组成。 由于各关节轴线彼此正交，可以将各杆件坐标系的 X 轴都安排在同一方向。 暂不计终端操作装置的位移。,2020/9/1,29,STANFORD机器人操作机,机构运动简图,坐标系设置,2020/9/1,30,斯坦福机器人关节变量及D-H参数,2020/9/1,31,2020/9/1,32,2020/9/1,33,PUMA机器人的正向运动学求解,PUMA560属于关节式机器人，6个关节都是转动关节，前三个关节确定手腕参考点的位置，后三个关节确定手腕的方位。和大多数工业机器人一样，后三个关节轴线交于一点，该点选作为手腕的参考点，也可作为连杆坐标系4，5和6的原点。关节1的轴线为垂直方向，关节2和3的轴线方向互相平行，且距离为a2。关节1和2的轴线垂直相交，关节3和4的轴线垂直交错，且距离为a3，PUMA560机器人结构示意图以及坐标系如图所示，连杆的D-H坐标变换矩阵参数如表4-4所示，其中，a2=431.8mm，a3=20.32mm，d2=149.09mm，d4=433.07mm。试求解该机器人的正向运动学方程。,2020/9/1,34,2020/9/1,35,2020/9/1,36,2020/9/1,37,2020/9/1,38,2020/9/1,39,V-80 机器人正运动学问题,2020/9/1,40,2020/9/1,41,2020/9/1,42,2020/9/1,43,4.3 从手部位姿到关节变量运动学逆问题,4.3.1 操作机的手臂解,对于 操作机，其逆变换就是由表示手部位姿的齐次矩阵求操作机的两个关节变量。,由手坐标系到基座坐标系的齐次矩阵可以表示为,2020/9/1,44,令上面矩阵的对应元素分别相等,所以,2020/9/1,45,令其中的对应元素分别相等，则可以得到,2020/9/1,46,其实问题很简单,正解：,逆解：,关节多了则不然！,2020/9/1,47,4.3.2 手部姿态角的确定,手部的姿态可以用绕x，y，z轴依次转动侧摆，俯仰和横滚获得。,等式左式与右式对应元素相等，最终可得,2020/9/1,48,4.3.3 6关节操作机的手臂解,操作机手部位姿的齐次矩阵为,6关节操作机位置运动学逆问题就是由描述手部位姿的齐次矩阵BTH求解构成手臂的六个关节角 、 、 、 、 、 ，这一逆问题又称为手臂解。,将上式等式两边左乘以 矩阵则可以得到,2020/9/1,49,从以上方程无法找到有用的信息，这是因为这两个关节互相平行，事实上直到达到非平行关节时才能找到有用的方程，即,由于无法找到新的关节角的解，于是继续左乘 得到,进而可以写成,2020/9/1,50,令上式等式的对应元素分别相等，则从（3,3）可以得到,进而,为了简化计算，规定,2020/9/1,51,所以,2020/9/1,52,最后为了获得 的信息，将最后的矩阵等式左乘以 可得到,由上式可解出：,2020/9/1,53,4.3.4 二自由度机械手的运动学逆解,2020/9/1,54,首先用 来表示 ，根据几何学的关系，有： 把上述两式两边分别平方并相加，得：,2020/9/1,55,4.3.5 PUMA机器人运动学逆解,2020/9/1,56,2020/9/1,57,利用已知的位姿矩阵，求解6个关节角。 （1）求解,2020/9/1,58,可得：,2020/9/1,59,利用（2，4）的对应元素相等：,2020/9/1,60,（2）求解,2020/9/1,61,由第四列前三行的对应元素相等，可以得到：,2020/9/1,62,（3）求解,2020/9/1,63,而 利用第四列第一行和第二行的元素对应相等，可得：,（4-79）,2020/9/1,64,2020/9/1,65,2020/9/1,66,（5）求解 利用第三列第一行、第三行的元素与等式左边展开后的对应项相等，可得：,2020/9/1,67,2020/9/1,68,2020/9/1,69,4.3.6 在求手臂解时出现的三个问题,奇异问题：当进行逆变换的计算时要做除法，而当分母趋于零时便会出现奇异现象。如在操作机中r = 0。,2020/9/1,70,边界奇异形位：PUMA 560的3在-90附近，手臂伸直，处于边界奇异状态； 内部奇异形位：由两个关节轴线或多个关节轴线重合造成的。操作臂各关节运动相抵消，不产生操作运动。PUMA 560 5= 0时，关节4和6轴线重合，丧失了一个自由度，处于内部奇异状态。,2020/9/1,71,PUMA操作机的轴侧图与机构运动简图,2020/9/1,72,机器人奇异情况分析,非奇异状态,奇异状态,2020/9/1,73,退化问题：在求逆问题时可能出现多解现象，即同一操作机位姿对应于多于一组的关节变量的解存在，则手臂处于退化状态。当机器人失去一个自由度，不能按照所期望的状态运动时即称机器人发生了退化。例如前面讨论的6关节操作机的关节角3的计算采用了开方计算，式（4-54）选取了正号。当取负号时其解仍正确，对应于下图中肘关节朝下的位置。显然这种不确定性的问题很容易解决。,2020/9/1,在两种情况下会发生退化： 机器人关节达到其物理极限而不能进一步运动； 如果两个相似关节的轴共线时，机器人可能会在其工作空间中变为退化状态。这意味着此时无论哪个关节运动都将产生同样的结果，结果是控制器不知