“华杯赛”专题讲座 约数与倍数（二）配套练习题一、解答题1、555555的最小的三位约数是几？888888的最小的三位约数是几？2、求两个正数8251和6105的最大公因数3、两个相同的四位数连续排列组成一个8位数，如：32143214、67586758在这样的数字中，能被28907整除的最大数是多少？4、有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续10个整数之和，还能够表示成连续11个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是多少？5、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，那么他们的乘积的质因数分解中最多有多少个3？6、求出满足要求的三个数a、b、c使得a、b、c分别有2、3、4个约数，a、b、c的最小公倍数刚好有12个约数且这个最小公倍数最小。7、a、b、c、d分别有2、3、4、5个约数，且它们中任何两个都没有倍数关系，那么a，b，c，d至少有多少个约数？8、已知n是自然数，那么n22005与n25的最大公约数最大为多少？9、a、b、c的最小公倍数是6300，a与b的最大公约数是18，a与c的最大公约数是3，a与c的最小公倍数是900，b不超过500那么a、b、c可能各是多少？10、已知a与b的最大公因数是12，a与c的最小公倍数是300，b与c的最小公倍数也是300，那么满足上述条件的自然数a、b、c共有多少组？（例如：a12、b300、c300，与a300、b12、c300是不同的两个自然数组）答案部分 一、解答题1、【正确答案】：105，104【答案解析】：55555535711133735710588888823371113371323104 【答疑编号10256103】 2、【正确答案】：37【答案解析】：8251610512146显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数6105214621813214618131333181333351483331482371483740则37为8251与6105的最大公因数 【答疑编号10256104】 3、【正确答案】：99179917【答案解析】：这个数一定是10001的倍数，我们可以先求出10001和28907的最大公因数是137，289071372111000021147.39，所以211479917因此，在这样的八位数中，能够被28907整除的最大数是99179917 【答疑编号10256105】 4、【正确答案】：495【答案解析】：9个连续自然数之和恰为中间数的9倍，因而是9的倍数；同理，11个连续自然数之和是11的倍数10个连续自然数之和是中间两数和的1025倍，所以是5的倍数由于9，11，5两两互质，故所求数必为9511495的倍数495515259454654404150故495即是所求 【答疑编号10256106】 5、【正确答案】：14【答案解析】：36729三位数中729有6个3，最多的，不可能有比这个多的。352432432486，所以其次另一个数有5个3。还有1、3、5三个数字。对于6个数我们可以逐一验证，当是135和351是都能分解出3个3。最多有：65314（个）。 【答疑编号10256107】 6、【正确答案】：3、4、15（答案不唯一）【答案解析】：要求这个数最小，约数一定，通常质数越多这个数就越小，且有12个约数的数中最小的就是60，3、4、15的最小公倍数刚好为60 【答疑编号10256108】 7、【正确答案】：30个【答案解析】：4个约数的数可以有2个质约数，有3、5个约数一定是平方数和4次方数，这个平方数含有的质数和这个4次方数含有的质数不能一样，但是这两个质数可以分别是4个约数这个数含有的两个质约数。所以最少可以是23530（个）。可以是5、9、6、16这4个数 【答疑编号10256110】 8、【正确答案】：2630【答案解析】：辗转相除法，（n22005，n25）（n22005n（n25），n25）（200525n，n25）（200525n（n25）25，n25）（2630，n25）所以最大为2630 【答疑编号10256111】 9、【正确答案】：900、126、3或者36、126、75。【答案解析】：因为a与b的最大公约数是18，所以a，b都是18的倍数。又因为a与c的最大公约数是3，a与c的最小公倍数是900，所以a900，c3，或者a36，c75。又因为a、b、c的最小公倍数是6300，所以b最小是：187126。b一定是126或者是126的5倍、25倍，但是除了126其它的都大于500，不成立，所以b126。因此a、b、c可能各是：900、126、3或者36、126、75。 【答疑编号10256112】 10、【正确答案】：30【答案解析】：先将12、300分别进行质因数分解：12223300223 52（1）确定a的值依题意a只能取12或125（60）或1225（300）（2）确定b的值当a12时，b可取12，或125，或1225；当a60，300时，b都只能取12所以，满足条件的a、b共有5组：第一组：a12，b12；第二组：a12，b60；第三组：a12，b300；第四组：a60，b12；第五组：a300，b12；（3）确定a，b，c的组数对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，150，300所以满足条件的自然数a、b、c共有5630（组） 【答疑编号10256113】 第4页