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学 海 无 涯1、如图,在RtABC中,C=90,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿BCA方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动(1)求AC、BC的长;(2)设点P的运动时间为x(秒),PBQ的面积为y(cm2),当PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当点Q在CA上运动,使PQAB时,以点B、P、Q为定点的三角形与ABC是否相似,请说明理由;(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由解:(1)设AC=4x,BC=3x,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,AC=8cm,BC=6cm;(2)当点Q在边BC上运动时,过点Q作QHAB于H,AP=x,BP=10x,BQ=2x,QHBACB,QH=x,y=BPQH=(10x)x=x2+8x(0x3),当点Q在边CA上运动时,过点Q作QHAB于H,AP=x,BP=10x,AQ=142x,AQHABC,即:,解得:QH=(14x),y=PBQH=(10x)(14x)=x2x+42(3x7);y与x的函数关系式为:y=;(3)AP=x,AQ=14x,PQAB,APQACB,即:,解得:x=,PQ=,PB=10x=,当点Q在CA上运动,使PQAB时,以点B、P、Q为定点的三角形与ABC不相似;(4)存在理由:AQ=142x=1410=4,AP=x=5,AC=8,AB=10,PQ是ABC的中位线,PQAB,PQAC,PQ是AC的垂直平分线,PC=AP=5,当点M与P重合时,BCM的周长最小,BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM的周长最小值为162、(12分) 如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,且与点C、 D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.(1)求证:ADPABQ;(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x, BM 2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;(3)若AD=10, AB=a, DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围。解:(1)证明: 四边形ABCD是矩形 ADP=ABC=BAD=90ABC+ABQ=18010x20-xNABQ=ADP =90AQAP PAQ=90QAB+ BAP=90又PAD+BAP=90PAD=QAB在ADP与ABQ中ADPABQ(2)如图,作MNQC,则QNM=QCD=90又MQN=PQCMQNPQC 点M是PQ的中点 又 ADPABQ 在RtMBN中,由勾股定理得:即: 108ABCPDQM10a10当即时,线段BM长的最小值. (3)如图,当点PQ中点M落在AB上时,此时QB=BC=10由ADPABQ得解得:随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围为:3、如图,抛物线关于直线对称,与坐标轴交于三点,且,点在抛物线上,直线是一次函数的图象,点是坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)若直线平分四边形的面积,求的值.(3)把抛物线向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线与直线交于两点,问在轴正半轴上是否存在一定点,使得不论取何值,直线与总是关于轴对称?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.答案:(1)因为抛物线关于直线x=1对称,AB=4,所以A(-1,0),B(3,0),由点D(2,1.5)在抛物线上,所以,所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,又,即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以.24(14分)(2013温州)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0.8),点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作CDEF(1)当0m8时,求CE的长(用含m的代数式表示);(2)当m=3时,是否存在点D,使CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值解答:解:(1)A(6,0),B(0,8)OA=6,OB=8AB=10,CEB=AOB=90,又OBA=EBC,BCEBAO,=,即=,CE=m;(2)m=3,BC=8m=5,CE=m=3BE=4,AE=ABBE=6点F落在y轴上(如图2)DEBO,EDABOA,=即=OD=,点D的坐标为(,0)(3)取CE的中点P,过P作PGy轴于点G则CP=CE=m()当m0时,当0m8时,如图3易证GCP=BAO,cosGCP=cosBAO=,CG=CPcosGCP=(m)=mOG=OC+OG=m+m=m+根据题意得,得:OG=CP,m+=m,解得:m=;当m8时,OGCP,显然不存在满足条件的m的值()当m=0时,即点C与原点O重合(如图4)()当m0时,当点E与点A重合时,(如图5),易证COAAOB,=,即=,解得:m=当点E与点A不重合时,(如图6)OG=OCOG=m(m)=m由题意得:OG=CP,m=m解得m=综上所述,m的值是或0或或28、如图,过原点的直线l1:y=3x,l2:y=x点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动直线PQ交y轴正半轴于点Q,且分别交l1、l2于点A、B设点P的运动时间为t秒时,直线PQ的解析式为y=x+tAOB的面积为Sl(如图)以AB为对角线作正方形ACBD,其面积为S2(如图)连接PD并延长,交l1于点E,交l2于点F设PEA的面积为S3;(如图)(1)Sl关于t的函数解析式为_;(2)直线OC的函数解析式为_;(3)S2关于t的函数解析式为_;(4)S3关于t的函数解析式为_解:(1)由,得,A点坐标为(,)由得B点坐标为(,)S1=SAOPSBOP=t2(2)由(1)得,点C的坐标为(,)设直线OC的解析式为y=kx,根据题意得=,k=,直线OC的解析式为y=x(3)由(1)、(2)知,正方形ABCD的边长CB=t=,S2=CB2=()2=(4)设直线PD的解析式为y=k1x+b,由(1)知,点D的坐标为(t,),将P(t,0)、D()代入得,解得直线PD的解析式为y=由,得E点坐标为(,)S3=SEOPSAOP=tttt=t225(10分)(2013天津)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,4),点E在OB上,且OAE=0BA()如图,求点E的坐标;()如图,将AEO沿x轴向右平移得到AEO,连接AB、BE设AA=m,其中0m2,试用含m的式子表示AB2+BE2,并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标;当AB+BE取得最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可)考点:相似形综合题3718684分析:()根据相似三角形OAEOBA的对应边成比例得到=,则易求OE=1,所以E(0,1);()如图,连接EE在RtABO中,勾股定理得到AB2=(2m)2+42=m24m+20,在RtBEE中,利用勾股定理得到BE2=EE2+BE2=m2+9,则AB2+BE2=2m24m+29=2(m1)2+27所以由二次函数最值的求法知,当m=1即点E的坐标是(1,1)时,AB2+BE2取得最小值解答:解:()如图,点A(2,0),点B(0,4),OA=2,OB=4OAE=0BA,EOA=AOB=90,OAEOBA,=,即=,解得,OE=1,点E的坐标为(0,1);()如图,连接EE由题设知AA=m(0m2),则AO=2m在RtABO中,由AB2=AO2+BO2,得AB2=(2m)2+42=m24m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的,EEAA,且EE=AABEE=90,EE=m又BE=OBOE=3,在RtBEE中,BE2=EE2+BE2=m2+9,AB2+BE2=2m24m+29=2(m1)2+27当m=1时,AB2+BE2可以取得最小值,此时,点E的坐标是(1,1)如图,过点A作ABx,并使AB=BE=3易证ABAEBE,BA=BE,AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时,AB+BA最小,即此时AB+BE取得最小值易证ABAOBA,=,AA=2=,EE=AA=,点E的坐标是(,1)点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点此题难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握17、(12分)(2013雅安)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求PBC周长的最小值;(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,ADF的面积为S求S与m的函数关系式;S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标; 若不存在,请说明理由解:(1)由题意可知:解得:抛物线的解析式为:y=x22x+3;(2)PBC的周长为:PB+PC+BCBC是定值,
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