学 海 无 涯集合的概念与集合的表示 集合概 念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表示方法列举法元素不重复元素无顺序元素间用“，”隔开描述法写清楚集合中元素的代号，如xR|x0，不能写成x2；说明该集合中元素的性质；所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。常用数集及其记法N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。（1）R=R；（2）方程组的解集为x=1，y=2；（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21；（4）平面内线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN。答案：（1）R=R是不正确的，R通常为R=x|x为实数，即R本身可表示为全体实数的集合，而R则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合。（2）方程组的解集为x=1，y=2是不对的，因为解集的元素是有序实数对（x，y），正确答案应为（x，y）|=（1，2）。（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21是不正确的。 x|y=x21表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x21=x|xR=R。 y|y=x21表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x21=y|y1。 （x，y）|y=x21表示点的集合，这些点在二次函数y=x21的图象上。（4）平面上线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN，该命题是正确的。知识点拨：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为（x，y）|的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。例题2 已知a1，1，a2，则a的值为_。答案：a1，1，a2， a可以等于1，1，a2。 （1）当a=1时，集合则为1，1，1，不符合集合元素的互异性。故a1。 （2）同上，a=1时也不成立。 （3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为1，1，0。 综上，a=0。知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是（ ）A. 高一（1）班全体女生 B. 高一（1）班全体学生的家长C. 高一（1）班开设的所有课程 D. 高一（1）班身高较高的男同学知识点拨：根据集合的概念进行判断。因为A、B、C中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D中所给对象不确定，原因是找不到衡量学生身高较高的标准，故不能构成集合。若将D中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”，则能构成集合。答案：D 判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可。例题 判断以下对象能否组成集合。（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的学生；（2）高一（1）班的高个子学生。答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的学生是确定的，因此身高大于1.75 m的学生可以组成集合。 （2）高一（1）班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合。（答题时间：15分钟）1. 下列集合表示法正确的是（ ）A. 1，2，3，3B. 全体有理数C. 00D. 不等式x32的解集是x|x52. 下列语句集合x|0x1可以用列举法表示；集合1，2，1含有三个元素；正整数集可以表示为1，2，3，4，；由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1。正确的是（ ）A. 只有和 B. 只有和C. 只有 D. 只有和3. 集合1，3，5，7，9用描述法表示应是（ ）A. x|x是不大于9的非负奇数B. x|x9，xNC. x|1x9，xND. x|0x9，xZ4. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）A. x|x1 B. y|（y1）20C. x1 D. 15. 集合M（x，y）|xy0，xR，yR是指（ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D. 第二、四象限内的点集6. （x，y）|xy6，x，yN用列举法表示为_。1. D2. D 解析：表示无限集，不能一一列举，故不正确；含有相同的元素，不正确；、正确。3. A4. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是1，而C选项表示含有一个方程的集合。5. D 解析：xy0且y0或x0。因此集合M表示第二、四象限内的点集。6. （0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）集合的运算子 集真 子 集定 义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合AB，但存在元素xB，且xA，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意xA，有xB，则AB。若集合AB，但存在元素xB，且xA，则AB表示方法A为集合B的子集，记作AB或BA。A不是B的子集时，记作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，记作AB或BA。性 质AA AAB，BCACAB，且BCAC子集个数含n个元素的集合A的子集个数为含n个元素的集合A的真子集个数为1空 集不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若A非空（即A），则有A。集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，或xB。（3）图形语言（Venn图）表示：。2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。（2）符号语言表示：AB=x|xA，且xB。（3）图形语言表示（Venn图）：。3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。（2）符号语言表示：A=x|xU，且xA。（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。（1）表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB与BA不能同时成立。思路导航：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即答案：（1）不正确。应该改为：，表示这个集合的元素是。（2）不正确。空集是任何非空集合的真子集，也就是说空集不能是它自身的真子集。这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集。由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3）不正确。1，2，3与3，2，1表示同一集合。（4）不正确。0，1的所有子集是0，1，0，1，。（5）正确。（6）不正确。A=B时，AB与BA能同时成立知识点拨：结合本题，要注意以下几点：（1）不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以（1）不正确。空集有专用的符号“”，不能写成，也不能写成 。（2）分析空集、子集、真子集的区别与联系。（3）不正确。两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序。（4）不正确。注意到是每个集合的子集。所以这个说法不正确。（5）正确。AB包括两种情形：AB和A=B。（6）不正确。A=B时，AB与BA能同时成立。例题2 已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围。知识点拨：对于方程ax23x+2=0，aR的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0或a0时，方程的根的情况是不一样的。则集合A的元素也不相同，所以首先要分类讨论。答案：（1）a=0时，原方程为3x+2=0x=，符合题意；（2）a0时，方程ax23x+2=0为一元二次方程，=98a0a。当a时，方程ax23x+2=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。综合（1）（2），知a=0或a。例题3 设集合Ax|xa|1，xR，Bx|1x5，xR。若AB，则实数a的取值范围是（ ）A. a|0a6 B. a|a2或a4C. a|a0或a6 D. a|2a4知识点拨：本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。由|xa|1得1xa1，即a1xa1。AB可以分两种情况来讨论，一种是A集合在B集合的左边，一种是A集合在B集合的右边。如图，由图可知a11或a15，所以a0或a6。答案：C随堂练习：满足1，3A=1，3，5的所有集合A的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4知识点拨：根据AB的定义可知，集合1，3，5应该是集合1，3和A的元素并在一起构成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能从1，3中选出一个或两个或不选，因此A有四种可能：5，1，5，3，5，1，3，5。答案：D（答题时间：15分钟）1. 集合A2，3，5，当xA时，若x1A，x1A，则称x为A的一个