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第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计,IIR数字滤波器的优点: 可以利用模拟滤波器的设计结果 IIR数字滤波器的缺点: 非线性相位 若需线性相位,要采用全通网络进行相位校正,FIR数字滤波器的优点: 1)可以做到严格线性相位 2)可以具有任意的幅度特性 3)对一个信号滤波,相当于 可以用FFT计算 4)总可以用一个因果系统来实现 5) 无反馈运算,运算误差小。,FIR数字滤波器的缺点 1)不能用模拟滤波器的设计方法,无解析设计公式,要借助计算机辅助设计; 2)由于没有极点,同样幅频特性,要获得较好的过渡带特性,需较高的阶数做为代价。,FIR滤波器的设计方法,设计方法: 窗函数法 频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法,设计任务:选择有限长度的脉冲响应h(n),得到系统函数H(z),使幅频特性满足技术指标,同时使相频特性达到线性相位。,7.1 线性相位FIR数字滤波器的特性,本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。,FIR滤波器的单位冲激响应:,系统函数:,在 z 平面有N 1 个零点,在 z = 0 处是N 1 阶极点,7.1.1. 线性相位的定义,FIR滤波器的频率响应函数,线性相位是指()是的线性函数,满足,第一类线性相位,第二类线性相位,群延时为常数,7.1.2. 线性相位的条件,证明(第一类线性相位条件):,充分性,FIR滤波器的系统函数,证明(第一类线性相位条件):,z=e j,证明(第一类线性相位条件):,幅度函数,相位函数,严格的线性相位,0,证明(第一类线性相位条件):,证明(第一类线性相位条件):,必要性,实部、虚部分别相等,两式相除,关于 奇对称,h(n)关于 偶对称,证明(第一类线性相位条件):,通过类似的推导,可以得到满足第二类线性相位条件的系统函数,频率响应函数函数,幅度函数,相位函数,广义的线性相位,0,结论,、第一类线性相位,、第二类线性相位,7.1.3 线性相位FIR滤波器幅度特性,1、h(n)为偶对称,N为奇数,关于 偶对称,关于 偶对称,以(N-1)/2为中心,把两两相等的项进行合并,2、h(n)为偶对称,N为偶数,n=1,2, 3, , N/2,=时, , H()对=呈奇对称,不适合设计高通滤波器、带阻滤波器,3、h(n)为奇对称,N为奇数,=0,不适合低通滤波器、高通滤波器、带阻滤波器,4、h(n)为奇对称,N为偶数,不适合于低通滤波器、带阻滤波器,h(n)为奇对称时,有90o相移,适用于微分器和90o移相器,而选频滤波器采用h(n)为偶对称,结论:P267表7.1.1,偶对称: N为奇数时, 对 呈偶对称。 N为偶数时, 对 呈偶对称。 奇 奇对称: N为奇数时, 对 呈奇对称。 N为偶数时, 对 呈奇对称。 偶,在 处,两者完全一样 在 处,当N为奇数,两者完全一样;偶数相反,对称性与 在 处对称性的比较,7.1.4. 线性相位FIR滤波器的零点分布,1、零点的分布原则,若z=zi 是H(z)的零点,则,也是H(z)的零点,h(n)为实序列时,线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对,4种零点,2、零点的位置,1)零点zi既不在实轴上,也不在单位圆上,4个零点成对出现,2)零点zi不在实轴上,在单位圆上,2个零点成对出现,存在共轭对,但倒数是其本身,3)零点zi在实轴上,不在单位圆上,2个零点成对出现,存在倒数,但共轭是其本身,4)零点zi在既实轴上,又在单位圆上,4个互为倒数、共轭的零点合为1点,N为偶数时的偶对称,N为偶数时的奇对称,N为奇数时的奇对称,(1)四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性,而与h(n)的值无关;,(2)幅度特性取决于h(n)的取值;,(3)设计线性相位FIR滤波器时,在保证h(n) 对称的条件下 ,只要完成幅度特性的逼近即可。,7.2 窗函数设计法,频域给出指标,给出理想滤波器的频率响应,设计FIR滤波器,求其频率响应,逼近,设计在时域进行,hd(n)无限长,非因果,设计h(n) ,有限长,因果,逼近,7.2.1 设计方法(以低通滤波器设计为例),理想低通滤波器的频响,1,0,0,为群延时,单位抽样响应,相位,hd(n)偶对称,对称中心,hd(n)无限长的非因果序列,设计可实现FIR滤波器的单位脉冲响应,窗函数,先选取最简单的窗函数,按第一类线性相位条件,得,7.2.2 加窗处理对频谱性能的影响,理想低通滤波器的频响,矩形窗的频响,主瓣宽度,线性相位,幅度函数,窗函数的频率特性WR(ej) 决定了H(ej)对Hd(ej)的逼近程度。,幅度函数,相位函数,一般情况,正肩峰,负肩峰,加窗函数的影响:,形成过渡带,Hd(ej)在截止频率处有陡峭的边沿,H()在截止频率处连续曲线,边沿加宽,形成过渡带,窗频谱的主瓣越宽,过渡带也越宽。,过渡带:正肩峰与负肩峰的间隔,过渡带宽=窗频谱WR(ej)主瓣宽度,正、负肩峰位置,截止频率两侧,窗谱函数旁瓣多,起伏振荡多,窗谱函数旁瓣相对幅度大,起伏振荡幅度大,H()形成正、负肩峰,肩峰两侧形成起伏振荡,改变N只能改变窗谱的主瓣宽度,但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定。,主瓣幅度增加,旁瓣幅度也增加,在矩形窗情况下,最大相对肩峰为8.95%,N 增加时, 减小,故起伏变密,而最大相对肩峰却总是8.95%,这种现象称为吉布斯效应。,肩峰值的大小,直接影响通带特性和阻带衰减。,h(n)代替 hd(n) 引起的误差,在频域上表现为,图7.2.4 增大,增大N对矩形窗幅度特的影响,引出原因:,矩形窗阻带最小衰减,在工程上,衰减量不够,要加大阻带衰减,需要改善窗口函数形状,改善窗口函数形状的标准,窗函数不仅起到截断作用,还能起到平滑作用。,7.2.3 几种典型的窗函数,窗函数的要求: (1)窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带 (2)尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度,以减小肩峰和波纹,(1)最大旁瓣峰值 (dB)。 (2)主瓣宽度 ,窗函数频谱的主瓣宽度。 (3)过度带宽 ,窗函数设计得到FIR滤波器的过度带宽,即通带截止频率与阻带截止频率之差。 (4)阻带最小衰减 (dB)。窗函数设计得到FIR滤波器的阻带最小衰减。,窗函数参数:,1. 矩形窗(Rectangle Window),傅里叶变换 幅度函数,主瓣宽度最窄:,旁瓣幅度大,矩形窗及加窗处理后波器波形,频率响应,2. 三角形窗(Bartlett Window),主瓣宽度宽:,旁瓣幅度较小,利用欧拉公式,3. 汉宁(Hanning)窗升余弦窗,利用DTFT的频移特性,幅度函数,三部分矩形窗频谱相加,使旁瓣互相抵消,能量集中在主瓣,旁瓣大大减小,主瓣宽度增加1倍。,主瓣宽度宽:,旁瓣幅度小,4. 汉明(Hamming)窗改进的升余弦窗,幅度函数,主瓣宽度宽:,旁瓣幅度更小,5. 布莱克曼(Blackman)窗,在升余弦窗的定义式中再加上一个二次谐波的余弦分量得到的,故又称二阶升余弦窗。可进一步抑制旁瓣的效果,幅度函数,主瓣宽度最宽:,旁瓣幅度最小,6. 凯塞贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window),前面介绍的窗函数统都是固定窗,即用每种窗函数设计的滤波器的阻带最小衰减是固定不变的,而且都是以牺牲主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制的,这两个指标不能同时兼顾。而凯塞窗是一种可调整的窗函数,可以实现以同一种窗函数类型来满足不同性能需求的目的。在相同的性能指标下,通过调整控制参数可以达到不同的阻带最小衰减,同时可以保证最小的主瓣宽度,即有最陡峭的过渡带,实现在主瓣宽度和旁瓣峰值之间的平衡。反之,给定指标,凯塞窗可以使滤波器的阶数最小。因此,凯塞窗是一种近似最佳的窗函数。,参数可以控制窗的形状。一般加大,主瓣加宽,旁瓣幅度减小,典型数据为4 9。当 =5.44时,窗函数接近哈明窗。 =7.865时,窗函数接近布莱克曼窗。,图7.2.13 凯塞窗波形(N=21),图7.2.14 参数变化时凯塞窗的傅里叶变换,表7.2.1 对滤波器性能的影响,若阻带最小衰减表示为st,的确定可采用下述经验公式,7.2.4 窗函数设计法总结,(1)确定所希望设计滤波器的hd(n),一般以理想线性相位滤波器作为逼近函数来求hd(n),即设Hd(ej)为理想线性相位滤波器,那么单位取样响应用下式求出:,求解过程中涉及Hd(ej)的截止频率,(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求,选择窗函数的形式,并估计窗口长度N。一般原则是在满足阻带最小衰减的要求下,尽量选择主瓣窄的窗函数。,(3) 计算滤波器的单位取样响应h(n), h(n) =hd(n)w(n) (4)验算技术指标是否满足要求。,低通滤波器的设计,例7.3.1 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器,要求:通带截止频率p=0.3,阻带截止频率st=0.5,阻带最小衰减st50dB。,解:(1)以理想线性相位低通滤波器作为逼近滤波器,即,单位抽样响应为,理想低通滤波器的截止频率c为,为了保证线性相位,(2)依据阻带最小衰减指标选择窗函数类型。因为要求st50dB ,查表7.2.1可以看出汉明窗、布莱克曼窗等都满足要求。但由于汉明窗的主瓣最窄,因而我们选择汉明窗,其表达式为,由过渡带宽确定窗的长度N。设计所要求的过渡带宽为,汉明窗的带宽为,(3)确定所设计滤波器 h(n)。依据所选窗函数,得到单位抽样响应为,(4)由h(n) 求出H(ej) ,以便验证设计结果是否满足要求。,例7.3.2 利用窗函数法设计一个FIR低通滤波器,所希望的频率响应函数为,若长度N=21,观察加不同窗函数后滤波器幅度特性的变化。,解:,若选择矩形窗函数,则有,若选择汉宁窗函数,则有,矩形窗设计的FIR滤波器幅度特性;,汉宁窗设计的FIR滤波器幅度特性,例7.3.3 利用凯塞窗设计一个FIR低通滤波器,要求:通带截止频率p=0.4,阻带截止频率st=0.6,阻带最小衰减st60dB。,解:(1)确定凯塞窗的参数和N。,取N=38,(2)确定理想低通滤波器的截止频率c,(3)求解hd(n)。,(4)确定所设计滤波器h(n)。,例2 设计一个线性相位FIR低通滤波器, 给定抽样频率为 通带截止频率为 阻带起始频率为 阻带衰减不小于-50dB。 解:1)求数字频率,2)求hd(n),3)选择窗函数:由 确定汉明窗,4)确定N 值,5)确定FIR滤波器的h(n),6)求 ,验证,若不满足,则改变N或窗形状重新设计,1、线性相位FIR高通滤波器的设计,理想线性相位高通滤波器的频率响应函数为,单位抽样响应为,高通滤波器的长度N只能取奇数,例7.3.4 利用汉明窗设计一个FIR高通滤波器,所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解:,选择汉明窗函数,则,2、线性相位FIR带通滤波器的设计,理想带通的频响,其单位抽样响应:,例7.3.5 利用汉宁窗设计一个FIR带通滤波器,所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解:,所设计带通滤波器的单位抽样响应为,3、线性相位FIR带阻滤波器的设计,理想带阻的频响:,其单位抽样响应:,例7.3.6 利用矩形窗设计一个FIR带阻滤波器,所希望的频率响应函数为 取长度N=31。 解:,所设计带阻滤波器的单位抽样响应为,7.4 频率抽样设计法,频率抽样设计法则是在频域内,以有限个频率响应抽样,去近似所希望的理想频率响应Hd(ej)的设计方法。,窗函数设计法:,对于一个长度为N的序列h(n),若知道其频域的N个抽样值H(k),则h(n)就可以由H(k) 唯一地确定。同时,也就可以获得其系统函数H(z)或频率响应函数H(ej) 。 设所希望
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