第三讲 平方根与立方根的认识课程目标1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根3. 了解立方根的含义； 4. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.课程重点会用根号表示数的平方根，并会用开方运算求某些非负数的平方根课程难点开方运算求某些非负数的平方根教学方法建议熟悉掌握概念，熟练各种题型变换一、知识梳理：要点一：平方根、算术平方根及立方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即0，0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.立方根的定义（1）如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.（2）立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.要点二：平方根和算术平方根的区别与联系1区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三：平方根及立方根的性质平方根的性质： 立方根的性质： 要点诠释：立方根第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.要点四：平方根及立方根小数点位数移动规律平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，.平方根及立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，.二、课堂精讲：【典型例题】类型一：平方根、算术平方根及立方根的概念例1：（1）已知2a1的平方根是3，3a+b9的立方根是2，c是的整数部分，求a+b+c的平方根（2）、下列结论正确的是（ ）A64的立方根是4 B是的立方根C立方根等于本身的数只有0和1 D【随堂演练1】【变式1】已知21与2是的两个不同的平方根，求的值.【变式2】下列说法正确的是（ ）A一个数的立方根有两个B一个非零数与它的立方根同号C若一个数有立方根，则它就有平方根D一个数的立方根是非负数【变式3】下列说法正确的是（）A4的立方是64B0.1的立方根是0.001C 4的算术平方根是16D9的平方根是3例2：为何值时，下列各式有意义？(1) ； (2)； (3)； (4)【随堂演练2】【变式1】已知，求的算术平方根类型二、平方根及立方根的运算例3：求下列各式的值（1）； (2) （3） （4） （5） （6） （7）【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【随堂演练3】【变式1】计算：（1）_；（2）_；（3）_（4）_.类型三、利用平方根或立方根解方程例4：求下列各式中的.（1） （2）； （3） （4）（x2）3=125【随堂演练4】【变式1】求出下列各式中的：（1）若0.343，则_；（2）若3213，则_；（3）若1250，则_；（4）若8，则_【变式2】求下列等式中的：（1）若，则_； （2），则_；（3）若则_； （4）若，则_类型四、平方根与立方根的综合应用例5：已知、是实数，且，解关于的方程【随堂演练5】【变式1】若，求的值例6：（1）小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.（2）在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【随堂演练6】【变式1】某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积约为1000m2的正方形空地上建一个篮球场，已知篮球场的面积为420m2，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出1m宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？【变式2】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为_.(不计损耗)三、课后作业：【平方根巩固练习A组】一.选择题1下列说法中正确的有（ ） 只有正数才有平方根 是4的平方根 的平方根是 的算术平方根是 的平方根是 A1个 B2个 C3 个 D4个2若4，则估计的值所在的范围是（ ）A12 B. 23 C. 34 D. 45 3. 试题下列说法中正确的是（）A.4是8的算术平方根 B.16的平方根是4 C.是6的平方根 D.没有平方根 4. 能使3的平方根有意义的值是（ ）A. 0 B. 3 C. 0 D. 35.若=a，则a的值为（）A1 B1 C0或1 D16. 若，为实数，且|1|0，则的值是（）A.0 B.1 C.1 D.2011二.填空题7. 若，则_.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3和5的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为 _.9. 下列各数：81，1.44，的平方根分别是_；算术平方根分别是_.10（1）的平方根是_；（2）的平方根是_，算术平方根是_；（3）的平方根是_，算术平方根是_；（4）的平方根是_，算术平方根是_11已知，求ab= 12. 若，则_.三.解答题13为何值时，下列各式有意义？ （2） （3） （4）14.已知：|x1|+（y2）2+=0，求x+y+z值的平方根15.如图，实数，对应数轴上的点A和B，化简【立方根巩固练习B组】一.选择题1下列结论正确的是（ ）A的立方根是B没有立方根C有理数一定有立方根D的立方根是12如果是的立方根，则下列结论正确的是（ ）ABCD3.下列说法中正确的有（ ）个. 负数没有平方根，但负数有立方根的平方根是的立方根是如果，那么2 算术平方根等于立方根的数只有1A1 B2 C3 D44.是的平方根，是64的立方根，则（ ）A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，75.的立方根是（）A1B0C1D16. 有如下命题：负数没有立方根；一个实数的立方根不是正数就是负数；一个正数或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（）A. B. C. D.二.填空题7中的的取值范围是_，中的的取值范围是_88的立方根与的平方根的和是_9若 则与的关系是_10计算= 11. 如果那么的值是_12.若，则_.三.解答题13.若和互为相反数，求的值.14已知519的立方根是4，求27的平方根15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n2的立方根，试求MN的值