第 九 章,相似理论和量纲分析,9.1 相 似 理 论,一、力学相似的基本概念 1.几何相似 模型与实物几何形状相似。即两系统对应的长度成同一比例，且对应角相等。,即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等。,长度比尺 面积比尺 体积比尺 长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为导出物理量量纲与基本物理量间的关系。,2.运动相似 流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。 速度比尺 时间比尺 加速度比尺,流量比尺 运动粘度比尺 角速度比尺 可见，一切运动学比尺都是长度比尺和速度比尺的函数。速度比尺是基本比尺。,3.动力相似 两系统对应位置处各作用力方向相同，大小成同一比例。 CF为力的比尺。,动力相似包括运动相似，而运动相似又包括几何相似。所以动力相似包括力、时间和长度三个基本物理量相似。两系统的其它物理量由它们决定，也必然相似。以密度相似为例说明如下：,在动力相似的条件下，对应的流体动力系数（压力系数、升力系数和阻力系数）相等。 无因次的流体动力系数CP数定义如下： 对两动力相似系统：,因此有,两流动系统相似除应具有以上三个相似条件外，还要求初始条件和边界条件一致。,一般来说，几何相似是流动相似的基础，动力相似则是决定两流动相似的主导因素，运动相似是几何相似和动力相似的表现。,二、相似准则 与动力有关的- 粘性不可压缩流体的基本方程 式NS方程,二、相似准则 特征物理量：如密度、速度v、长度L、粘性系数、压力p、加速度g和时间t等。 由NS方程可以看出，单位质量的各力可用这些特征物理量的量级表示如下： 压力粘性力 质量力 局部惯性力迁移惯性力,由动力相似条件应有： 直接影响流动的力是惯性力，它力图维持原有的流动状态；其它各力是流体受到的外力，它们力图改变流动状态。流动的变化就是惯性力与其它各力相互作用的结果。因此，将迁移惯性力与其它各力进行比较就可得到四个相似准数。,四个相似准数 雷诺数 傅汝德数 斯特洛哈尔数 欧拉数,主要反映 粘性力相似,主要反映 重力相似,主要反映非定 常运动相似,主要反映 压力相似,对于完全相似的流动现象，必定有： Rem=Rep；Frm=Frp； Stm=Stp； Eum=Eup 。 相似准则既是判断流动相似的标准，又是设计模型的准则。 一般情况下，模型与实际流动选用同一种介质。但要做到完全力学相似是很困难的，实验均采用局部相似。,1.傅汝德数相等 用于重力起主要作用，粘性力可忽略的场合。相似准则为Fr，有：,2.雷诺数相等 用于粘性力起主要作用，重力影响很小，可忽略的场合。相似准则为Re，有：,例9.1一潜艇长为L78m，水面航速为13kn,现用1：50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。 解：实验应按傅汝德准则进行。 已知船模长度： 实艇水面航速为： 故实验时船模的拖曳速度为：,9.2.1 单位和量纲 时间t的单位：秒、分、小时等。 量纲：物理量测量单位的类别 基本量纲：长度L，时间T，质量M 导出量纲：X 无量纲量或无量纲数,量纲(dimension),量纲 ：物理量测量单位的类别。 流体力学中常见物理量的量纲：,9.2.1 单位和量纲,在工程设计和科研工作中，常会遇到这样的情况：根据经验或分析判断只知道所研究的问题与某些物理量有关，但是由于情况复杂，运用已有的理论方法尚不能确定出准确描述这种变化过程的方程式，要揭示这些物理量之间的函数关系就需要做模型实验。 如果用依次改变每个自变量的方法实验，显然对于有多种影响因素的情况来说是不适宜的。,9.2.2 量纲分析法,为了合理地选择实验变量，同时又能使实验结果具有普遍适用价值，一般需要将物理量之间的函数式转化为无量纲数之间的函数式。用无量纲数之间的函数式所表达的实验曲线具有更普遍的使用价值。 因此，量纲分析至少有两方面的好处：第一，实验变量的数目减少了，可以节省大量的时间、人力和财力；第二，按无量纲参数整理的实验结果可以直接用于实物上去。,1. 指数法,基本原理：某物理过程与几个物理量有关： 其中的某一物理量qi可表示成其它物理量的指数乘积 其中K为无量纲数，写出等式两边各物理量的量纲式，将量纲式按式(5.2.1)表示为基本量纲的指数乘积形式，并根据量纲和谐原理确定指数，从而得出表示该物理过程的方程式。,那么如何来组成无量纲数呢？下面介绍量纲分析的具体方法，一种称为指数法，适用于比较简单的问题；另一种称为定理，是一种具有普遍性的方法。,指数法的应用,粘性流体中运动物体所受的阻力 ，影响它的因素有物体的长度 ，运动速度 ，流体的密度 以及流体的动力粘性系数 ，试确定它们之间的关系式。 由题意有如下的关系式 由指数法有 等式两边写成量纲方程,指数法的应用,等式两边的各量纲的指数应相等，于是有 1.要确定实物的阻力大小，需按Re数相似准则进行实验； 2.实验时只需改变速度的大小就能确定的CRRe关系曲线图，然后换算到实物即可得到实物的阻力。,2. 定理,若一个物理现象可由 n 个物理量构成的物理方程式描述，在n个物理量中选取m个基本物理量，则该物理现象可用这n个物理量构成的（nm）个无量纲量来描述。 利用定理可以使物理量函数关系式转变为无量纲数的函数关系式，减少变量，从而减少实验量。,2. 定理,运用定理的步骤如下： 确定与物理现象有关的n个物理量并分别写出各自的基本量纲表达式。 从n个物理量中选取m个基本量。不可压缩流体运动一般取m3。 用个m基本量与其它n-m的个物理量构成的n-m个无量纲量，并确定之。 整理方程式。,定理的应用： 管中流动的沿程水头损失 根据实际观测知道，管中流动由于沿程摩擦造成的压力差 p 与下列因素有关：管径 d、管中平均流速 v、流体密度、流体动力粘度 、管长 l、管壁粗糙度 ，试用定理确定压力降与其它物理量的函数关系。,解：1） p =f(l, d, , , , v ) 2）各物理量量纲如下 pML1T2； lL； dL；L； ML3； ML1T1； v LT1 。 3）选d、 v 、 为基本物理量 分析p 的量纲 p = f(d，v，) 等式两边量纲应相同，有：,ML1T2= ( L)x ( LT1)y ( ML3)z = M z Lx+y 3z Ty 解得 x=0 ；y=2 ； z=1 ，有 。 同理分析的量纲 ML1T1 =( L)x4 ( LT1)y4( ML3)z4 解得 x4=1；y4=1；z4=1，有 分析l的量纲 L=( L)x5 ( LT1)y5( ML3)z5 解得 x5=0 ；y5=0 ； z5=1 ，有,分析 的量纲 L=( L)x6( LT1)y6( ML3)z6 解得 x6=0 ；y6=0 ； z6=1,有 4）建立准则方程式 1 =f(2， 3， 4) 5）管中沿程水头损失 hf=p/g,