学 海 无 涯 1 1 1 1. .（本题满分 14 分）设数列设数列 n a的前的前n项和为项和为 n S, ,且且34= nn aS(1,2,)n =， （1）证明:数列 n a是等比数列； （2）若数列 n b满足 1 (1,2,) nnn babn + =+=， 1 2b =，求数列 n b的通项公 式 2 2. .（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的各项均为正数，且 2 12326 231,9.aaaa a+= 1.求数列 n a的通项公式. 2.设 31323 loglog.log, nn baaa=+求数列 1 n b 的前项和. 3.设数列设数列 n a满足满足 21 11 2,3 2 n nn aaa + = （1） 求数列 n a的通项公式； （2） 令 nn bna=，求数列的前 n 项和 n S 学 海 无 涯 2 2 4.已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4 （）求数列an的通项公式； （）设 bn=（4an）qn 1（q0，nN*） ，求数列bn的前 n 项和 Sn 5.已知数列an满足，nN （1）令 bn=an+1an，证明：bn是等比数列； （2）求an的通项公式 学 海 无 涯 3 3 学 海 无 涯 4 4 1 1. .解： （1）证：因为34= nn aS(1,2,)n =，则34 11 = nn aS(2,3,)n =， 所以当2n 时， 11 44 nnnnn aSSaa =， 整理得 1 4 3 nn aa = 5 分 由34= nn aS，令1n =，得34 11 = aa，解得1 1= a 所以 n a是首项为 1， 公比为 4 3 的等比数列 7 分 （2）解：因为 1 4 ( ) 3 n n a =， 由 1 (1,2,) nnn babn + =+=，得 1 1 4 ( ) 3 n nn bb + = 9 分 由累加得)()()( 1231 21 += nnn bbbbbbbb 1) 3 4 (3 3 4 1 ) 3 4 (1 2 1 1 = + n n ， （2n） ， 当 n=1 时也满足，所以1) 3 4 ( 3 1 = n n b 2 2. .解： （）设数列an的公比为 q，由 2 326 9aa a=得 32 34 9aa=所以 2 1 9 q =。有条件 可知 a0,故 1 3 q =。 由 12 231aa+=得 12 231aa q+=，所以 1 1 3 a =。故数列an的通项式为 an= 1 3n 。 （ ） 111111 loglog.log n baaa=+ (1 2.) (1) 2 n n n = + + = 故 1211 2() (1)1 n bn nnn = = + 12 111111112 .2(1)(). () 22311 n n bbbnnn += += + 学 海 无 涯 5 5 所以数列 1 n b 的前 n 项和为 2 1 n n + 3.解： （）由已知，当 n1 时， 111211 ()()() nnnnn aaaaaaaa + =+ 2123 3(222)2 nn =+ 2(1) 1 2 n+ =。 而 1 2,a = 所以数列 n a的通项公式为 21 2 n n a =。 （）由 21 2 n nn bnan =知 3521 1 22 23 22 n n Sn = + + + 从而 235721 21 22 23 22 n n Sn + = + + + -得 2352121 (1 2 )22222 nn n Sn + =+ 。 即 21 1(3 1)22 9 n n Sn + =+ 4.解： （1）设an的公差为 d， 由已知得 解得 a1=3，d=1 故 an=3+（n1） （1）=4n； （2）由（1）的解答得，bn=nqn 1，于是 Sn=1q0+2q1+3q2+（n1）qn 1+nqn 若 q1，将上式两边同乘以 q，得 qSn=1q1+2q2+3q3+（n1）qn+nqn+1 将上面两式相减得到 （q1）Sn=nqn（1+q+q2+qn 1） 学 海 无 涯 6 6 =nqn 于是 Sn= 若 q=1，则 Sn=1+2+3+n= 所以，Sn= 5.解： （1）证 b1=a2a1=1， 当 n2 时， 所以bn是以 1 为首项，为公比的等比数列 （2）解由（1）知， 当 n2 时，an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）=1+1+（ ）+ =， 当 n=1 时， 所以 学 海 无 涯 7 7 学 海 无 涯 8 8 学 海 无 涯 9 9 学 海 无 涯 10 10