绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 6 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题）.本卷满分为 160 分，考试 时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效. 5.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式： 柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高. 第卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1.已知集合 1012A ， ， ，0 2 3B ， ，则AB I. 2.已知i是虚数单位，则复数1i2iz 的实部是. 3.已知一组数据4，2a，3a，5，6的平均数为 4，则a的值是. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率 是. 5.下图是一个算法流程图.若输出y的值为2，则输入x的值是. 6.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 2 10 5 xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx，则该 双曲线的离心率是. 7.已知 yf x是奇函数，当0 x时， 2 3 f xx，则8f 的值是. 8.已知 2 2 sin 43 ，则sin2的值是. 9.如图， 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六 边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 3 cm. 10.将函数 sin32 4 xy 的图象向右平移 6 个单位长度， 则平移后的图象中与y轴最近的对 称轴的方程是. 11.设 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为q的等比数列.已知数列 nn ab的前n项和 2 21 n n Snnn N，则dq的值是. 12.已知 224 51Rx yyxy，则 22 xy的最小值是. 13.在ABC中，4AB ，3AC ，90BAC ，D在边BC上， 延长AD到P， 使得9AP， 若 3 2 PAmPBm PC uuruuruuu r （m为常数） ，则CD的长度是. 14.在平面直角坐标系xOy中，已知 3 0 2 P ，A，B是圆C： 2 2 1 36 2 xy 上的两个动 点，满足PAPB，则PAB面积的最大值是. 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 在三棱柱 111 ABCA B C中，ABAC， 1 B C 平面ABC，E，F分别是AC， 1 B C的中 点. （1）求证：EF平面 11 AB C； （2）求证：平面 1 AB C 平面 1 ABB. 16.（本小题满分 14 分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a ，2c ，45B . （1）求sinC的值； （2）在边BC上取一点D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值. 17.（本小题满分 14 分） 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上， 桥AB与MN平行， OO 为铅垂线 （ O 在AB上） .经测量， 左侧曲线AO上任一点D到MN 的距离 1 h（米）与D到 OO 的距离a（米）之间满足关系式 2 1 1 40 ha；右侧曲线BO上任 一点F到MN的距离 2 h（米） 与F到 OO 的距离b（米） 之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb . 已知点B到 OO 的距离为 40 米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩CD和EF，且CE为 80 米，其中C，E在AB 上（不包括端点）.桥墩EF每米造价k（万元） 、桥墩CD每米造价 3 2 k（万元） （0k） . 问O E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 18.（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点A在椭 圆E上且在第一象限内， 212 AFFF，直线 1 AF与椭圆E相交于另一点B. （1）求 12 AFF的周长； （2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP QP uu u r uu u r g的最小值； （3）设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为 1 S， 2 S，若 21 3SS，求点M 的坐标. 19.（本小题满分 16 分） 已 知 关于x的 函 数 yfx， yg x与 h xkxb kbR，在 区 间D上 恒 有 fxh xg x . （1）若 2 2fxxx， 2 2gxxx ，D ，求 h x的表达式； （2）若 2 1fxxx， lng xkx， h xkxk， 0D ，求k的取值范围； （3）若 42 2fxxx， 2 48g xx， 342 432h xtt xtt 02t ，22Dm n ，求证：7nm. 20.（本小题满分 16 分） 已知数列 * n anN的首项 1 1a ，前n项和为 n S.设与k是常数，若对一切正整数n， 均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列. （1）若等差数列 n a是“1”数列，求的值； （2）若数列 n a是“ 3 2 3 ”数列，且 n a 0，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列 n a为“3”数列，且 n a 0？若存在， 求的取值范围；若不存在，说明理由. 第卷 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 .若多 做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 平面上点21A，在矩阵 1 1 a M b 对应的变换作用下得到点34B，. （1）求实数a，b的值； （2）求矩阵M的逆矩阵 1 M . B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点 1 3 A ，在直线cos2l：上，点 2 6 B ，在圆:4sinC上 （其中0，02 ）. （1）求 1 ， 2 的值 （2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标. C.选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设xR，解不等式214xx. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分 10 分） 在三棱锥ABCD中，已知5CBCD，2BD ，O为BD的中点，AO平面BCD， 2AO ，E 为AC的中点. （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足 1 4 BFBC，设二面角FDEC的大小为，求sin的值. 23.（本小题满分 10 分） 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一 个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 n X，恰有 2 个黑球 的概率为 n p，恰有 1 个黑球的概率为 n q. （1）求 11 pq，和 22 pq，； （2）求2 nn pq与 11 2 nn pq 的递推关系式和 n X的数学期望 n E X（用n表示）. 2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学答案解析 第卷 一、填空题 1. 【答案】0 2，【解析】 根据集合的交集即可计算.1012A ， ， ，0 2 3B ， ，0 2AB，I， 故答案为：0 2，.【考点】交集及其运算 2.【答案】3【解析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.复数1i2iz ， 2 2i2ii3 iz 复数的实部为 3.故答案为：3.【考点】复数的基本概念 3.【答案】2 【解析】根据平均数的公式进行求解即可.数据4，2a，3a，5，6的平均数为 4， 4235620aa ，即2a .故答案为：2. 【考点】平均数的计算和应用 4.【答案】 1 9 【解析】分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可根据题意可 得基本事件数总为6 636个.点数和为 5 的基本事件有14，41 ，2 3，32，共 4 个.出现向上的点数和为 5 的概率为 41 369 P .故答案为： 1 9 . 【考点】概率的求法，古典概型，列举法 5.【答案】3 【解析】 根据指数函数的性质， 判断出1yx， 由此求得x的值.由于20 x ， 所以12yx ， 解得3x .故答案为：3. 【考点】根据程序框图输出结果求输入值，指数函数的性质 6.【答案】 3 2 【解析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率.双曲线 22 2 1 5 xy a ， 故5b .由于双曲线的一条渐近线方程为 5 2 yx，即 5 2 2 b a a ，所以 22 453cab，所以双曲线的离心率为 3 2 c a .故答案为： 3 2 . 【考点】双曲线的渐近线，双曲线离心率的求法 7.【答案】4 【解析】先求 8f，再根据奇函数求8f . 2 3 884f，因为 f x为奇函数，所以 884ff . 故答案为：4. 【考点】根据奇函数性质求函数值 8.【答案】 1 3 【 解 析 】 2 2 221 sincossin1sin2 4222 Q， 12 1sin2 23 ， 1 sin2 3 .故答案为： 1 3 . 【考点】两角和正弦公式，二倍角正弦公式 9.【答案】12 3 2 【解析】 先求正六棱柱体积， 再求圆柱体积， 相减得结果.正六棱柱体积为 2 3 622=12 3 4 ， 圆柱体积为 2 1 2 22 g，所求几何体体积为12 3 2 ，故答案为：12 3 2 . 【考点】正六棱柱体积，圆柱体积 10.【答案】 5 24 x 【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 3sin 23sin 2 6412 yxx ，2 122 xkk Z， 7 242 k xk Z， 当1k 时 5 24 x ，故答案为： 5 24 x . 【考点】三角函数图象变换，正弦函数对称轴 11.【答案】4 【解析】结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点，分别求得 n a， n b的公差和公比， 由此求得dq.设等差数列 n a 的公差为d ，等比数列 n b的公比为q，根据题意1q . 等差数列 n a的前n项和公式为 2 11 1 222 n n ndd Pnadnan ， 等比数列 n b的前n项和公式为 1 11 1 111 n n n bq bb Qq qqq ， 依题意 nnn SPQ，即 22 11 1 21 2211 nn bbdd nnnanq qq ， 通过对比系数可知 1 1 1 2 1 2 2 1 1 d d a q b q 1 1 2 0 2 1 d a q b ，故4dq. 故答案为：4. 【考点】等差数列和等比数列的前n项和公式 1