7- 4-2. 排列之捆绑法 . 题库教师版page1 of4 1. 使学生正确理解排列的意义； 2. 了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 3. 掌握排列的计算公式； 4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和 逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑 法等 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列， 计算有 多少种排法，就是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所 在的先后顺序有关 一般地，从n个不同的元素中取出 m ( mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从 n个不同元素中取出m 个元素的一个排列 根据排列的定义，两个排列相同， 指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺 序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然 元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出 m(mn) 个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做 m n P 根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成： 步骤1：从 n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法； 步骤2：从剩下的 (1n) 个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n) 种方法； 步 骤 m ： 从 剩 下 的 (1)nm个 元 素 中 任 取 一 个 元 素 排 在 第 m 个 位 置 ， 有 11nmnm（）( 种) 方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121nnnnmL（） （）（），即12.1 m n Pn nnnmL（）（）（） ，这里，mn，且等号 右边从 n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有 m 个因数相乘 二、排列数 一般地，对于mn 的情况，排列数公式变为123 2 1 n n PnnnL（） （） 表示从 n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数这种n 个排列全部取 出的排列，叫做 n个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因 教学目标 知识要点 7-4-2. 排列之捆绑法 7- 4-2. 排列之捆绑法 . 题库教师版page2 of4 数小1，一直乘到 1的乘积，记为! n ，读做 n 的阶乘，则 n n P 还可以写为： ! n n Pn ，其中 !123 2 1nnnnL L（） （） 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法 数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算 【例 1 】4 个男生 2 个女生 6 人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2 个女生紧 挨着排在正中间有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 4 男 2 女 6 人站成一排相当于6 个人站成一排的方法，可以分为六步来进行， 第一步，确定第一个位置的人，有6 种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5 种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4 种选择，依此类推，第六步，最后一 个位置只有一种选择根据乘法原理，一共有65432 1720种排法 根据题意分为两步来排列第一步，先排4 个男生，一共有432 124种不同的排 法；第二步，将2 个女生安排完次序后再插到中间一共有2 种方法根据乘法原理，一共有 24248种排法 【答案】72048 【巩固】4 男 2 女 6 个人站成一排合影留念，要求2 个女的紧挨着有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 分为三步： 第一步： 4个男得先排，一共有432 124种不同的排法； 第二步： 2个女的排次序一共有2 种方法； 第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5 个位置可插 根据乘法原理，一共有2425240种排法 【答案】240 【例 2 】将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻 请 问共有多少种不同的排列方法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】 2007 年，台湾，第十一届，小学数学世界邀请赛 【解析】 （法1）七人排成一列，其中 B要与C相邻，分两种情况进行考虑 若B站在两端， B有两种选择，C只有一种选择，另五人的排列共有 5 5P 种，所以这种情况 有 5 5 21240P种不同的站法若B站在中间，B有五种选择，B无论在中间何处，C都 有两种选择另五人的排列共有 5 5 P 种，所以这种情况共有 5 5 521200P种不同的站法 所以共有240 12001440种不同的站法 （法2）由于B与C必须相邻，可以把B与C当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的 全排列，另外注意B、C内部有2种不同的站法， 所以共有 6 6 21440P种不同的站法 【答案】 1440 【巩固】 6 名小朋友、 、 、 、 、ABCDEF站成一排，若，AB 两人必须相邻，一共有多少种 不同的站法？若、AB两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 若A、B两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据 一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左因此站法 总数为 25 25 PP =2 120=240 （种） 例题精讲 7- 4-2. 排列之捆绑法 . 题库教师版page3 of4 A、B两个人不能相邻与A、B两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数 为 6 6 P =720（种），所以A、B两个人不能相邻的站法总数为 720-240=480 （种） 【答案】480 【例 3 】某小组有 12 个同学， 其中男少先队员有3 人，女少先队员有4人，全组同学站成 一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少 种？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进 行排列，有 6 6 654321720P( 种) 排法然后在七个空档中排列3个男少 先队员，有 3 7 76P5210( 种) 排法，最后4个女少先队员内部进行排列，有 4 4 432 124P( 种 ) 排 法 由 乘 法 原 理 ， 这 样 的 排 法 一 共 有 720210243628800( 种) 【答案】 3628800 【例 4 】学校乒乓球队一共有4 名男生和3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问： （1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？ （2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】(1) 要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里因 为有 3 名女生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位则站法总数为： 34 34 PP624144 （种） (2) 根据题意，采用捆绑法，将所有女生看成一个整体，则站法总数为： 53 53 PP1206720（种） 【答案】 (1) 144 (2) 720 【例 5 】书架上有4 本不同的漫画书，5 本不同的童话书，3 本不同的故事书，全部竖起 排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和 漫画书不要分开有多少种排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 每种书内部任意排序，分别有43 21，5432 1，32 1种排法，然后 再 排 三 种 类 型 的 顺 序 ， 有 32 1 种 排 法 ， 整 个 过 程 分4步 完 成43 21 5432 1 32 1 32 1103680种，一共有 103680 种不同 排法 方法一： 首先将漫画书和童话书全排列，分别有43 2124、5432 1120种排 法，然后将漫画书和童话书捆绑看成一摞，再和3 本故事书一起全排列，一共有 54 32 1120种排法，所以一共有24 120 120345600种排法 方法二：首先将三种书都全排列，分别有24、120、6 种排法，然后将排好了顺序的漫画书 和童话书，整摞得先后插到故事书中，插漫画书时有4 个地方可以插，插童话书时就有5 个地方可插，所以一共有24 1206 54345600种排法 【答案】 103680 345600 【例 6 】四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由2 个舞蹈、 2 个演唱和3 个小 品组成请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺 序？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 要求同类型的节目连续演出，则可以应用“捆绑法”先对舞蹈、演唱、小品三种 节目做全排列，再分别在各类节目内部排列具体节目的次序因此出场顺序总数 7- 4-2. 排列之捆绑法 . 题库教师版page4 of4 为： 3223 3223 PPPP =144（种） 【答案】 144 【例 7 】停车站划出一排 12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个 空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案? 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排 列，所以共有 9 9 362880P 【答案】362880 【例 8 】a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 解法一：插空法，先排c ，d， e，有 3 3 P 种排法 在 c ，d， e三个人之间有2 个空，再加上两端，共有4 个空， a ，b排在这 4 个空的位置 上，a与b就不相邻， 有 2 4 P 种排法根据分步计数乘法原理，不同的排法共有 32 34 P P72（种） 解法二：排除法，把a，b当作一个人和其他三个人在一起排列，再考虑a与b本身的顺序， 有 42 42 P P 种排法总的排法为 5 5 P 总的排法减去a 与b相邻的排法即为 a 与 b不相邻的排法， 应为 542 542 PP P72 （种） 【答案】72 【巩固】8 人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？ 【考点】排列之捆绑法【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 n 人的环状排列与线状排列的不同之处在于： 123n a a aaL、 231n a aa aL、 3412n a aa a aL、 11nn a aaL在线状排列里是n 个不同的排列，而在环状排列中是 相同的排列所以，n 个不同的元素的环状排列数为 1 1 P P n nn n n 甲、乙两人必须相邻， 可把他们看作是1 人 （当然，他们之间还有顺序） ， 总排列数为 26 26 P P 从 中扣除甲、乙相邻且乙、丙也相邻（注意，这和甲、乙、丙三人相邻是不同的如甲在乙、 丙之间合于后者， 但不合于前者） 的情况 25 25P P 种 所以，符合题意的排法有 2625 2625P PP P1200 （种） 【答案】1200