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教师寄语 :拼一个春夏秋冬,换一生无怨无悔。 1. 学会用带入消元和加减消元法解方程组 2. 熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识点说明: 一、方程的历史 同学们,你们知道古代的方程到底是什么样子的吗?公元 263 年, 数学家刘徽所著 九 章算术一书里有一个例子:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二 秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问 上、中、下禾实一秉各几何?”刘徽列出的“方程”如图所示。 方程的英语是 equation,就是“等式”的意思。清朝初年,中国的数学家把 equation 译成“相等式” ,到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起, “方程”这个词就表示“含 有未知数的等式” ,而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。 二、学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题,作为代数学最基本内容,方程的学习和使用不但能为未 来初中阶段数学学习打好基础,同时能够将抽象数学直观表达出来,能够帮助学生更好的理 解抽象的数学知识。 三、解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤:是消元, 即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方 程。 消元方法: 代入消元法和加减消元法 代入消元法: 取一个方程,将它写成用一个未知数表示另一个未知数,记作方程; 将代入另一个方程,得一元一次方程; 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; 将这个未知数的值代入,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解 加减消元法: 变形、调整两条方程,使某个未知数的系数绝对值相等(类似于通分); 知识精讲 教学目标 方程组解法综合 教师寄语 :拼一个春夏秋冬,换一生无怨无悔。 将两条方程相加或相减消元; 解一元一次方程; 代入法求另一未知数 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入 模块一、二元一次方程组 【例 1】解方程 5 1 xy xy (, x y为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 2 星【题型】解答 【解析】()()51xyxy 26x 3x 3 2 x y 方法二:解 代入消元法, 由5xy得到5xy , 代入方程1xy中, 得到51yy, 整理得2y,所以 3x ,所以方程的解为 3 2 x y 【答案】 3 2 x y 【例 2】解方程 9220 3410 uv uv (,u v 为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 2 星【题型】解答 【解析】方法一:加减消元法 化 v 的系数相同,加减消元法计算得2(92 )(34 )22010uvuv 去括号和并同类项得 18320uu 1530u 2u 2 1 u v 方法二:代入消元法由9220uv得到104.5vu,代入方程3410uv中得到 34 104.510uu,整理得2u,1v,所以方程解为 2 1 u v 【答案】 2 1 u v 【例 3】解方程组 50 3217 xy xy ( , x y为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 加减消元,若想消掉 y,应将y的系数统一,因为2,510,所以第一个方程应 例题精讲 教师寄语 :拼一个春夏秋冬,换一生无怨无悔。 该扩大 2 倍,第二个式子应该扩大5 倍,又因为 y 的系数符号不同,所以应该用加 消元,计算结果如下:2(5 )5(32 )20517xyxy,1785x得5x,所 以 550y,解得1y。 【答案】 5 1 x y 【例 4】解方程组 37 528 xy xy ( , x y为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 将第一个式子扩大2 倍和二式相减得2(3)(52 )2512xyxy,去括号整理 1122x解得2x,所以方程的解为 2 1 x y 【例 5】解方程组 2(150)5(350) 0.10.060.085800 xy xy ( , x y为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 对第一个方程去括号整理,根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理 得: 215550 538.5400 xy xy ,若想消掉 y,将方程二扩大 3 倍,又因为 y的系数符号 不同,所以应该用加消元,计算结果如下: (215 )5(53 )55058.5400 xyxy, 去 括 号 整 理 得2717550 x, 解 得 650 x,所以方程的解为 650 50 x y 【例 6】【答案】 650 50 x y 解下面关于 x 、 y的二元一次方程组: 4320 4 1 3 xy yx 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 整理这个方程组里的两个方程,可以得到: 4320 4330 xy xy , 可以看出,两个方程 是不可能同时成立的,所以这是题目本身的问题,无解 【答案】无解 【例 7】解方程组 34 3 41 92 2 41 xy xy ( , x y 为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 本题需要同学能够利用整体思想进行解题,将4x与1y看出相应的未知数,因 为每一项的分母不同,所以先将分母系数化成同样的,所以第二个式子等号两边同 时乘以2 整理得: 3492 ()2()322 4141xyxy ,去括号整理后得到 21 7 4x ,根据分数的性质计算得7x,所以方程的解为: 7 3 x y 模块二、多元一次方程 教师寄语 :拼一个春夏秋冬,换一生无怨无悔。 【例 8】解方程组 347 239 5978 xz xyz xyz ( , ,x y z为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 观察 , ,x y z的系数发现,第二个式子与第三个式子中y的系数是 3 倍关系,所以将 第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到: 3(23)(597 )398xyzxyz,去括号整理得111035xz,与第一个式 子整理得 347 111035 xz xz ,若想消掉z , ,因为 4,1020,所以第一个方程应该扩 大 5 倍,第二个式子应该扩大2 倍,又因为 z 的系数符号相同, 所以应该用减消元, 计算结果如下:2(1110 )5(34 )23557xzxz,去括号整理得735x, 5x,所以方程解为 5 7 2 x y z 【巩固】解方程组 27 28 29 xyz xyz xyz ( , ,x y z为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 将一式与二式相减得(2)(2)87xyzxyz去括号整理后得1yx;将 二式扩大2 倍与三式相减得2(2)(2 )289xyzxyz,去括号整理后得 37yx; 最后将两式相加计算结果如下:()(3)17yxyx, 整理得 48y, 4y所以方程的解为: 1 2 3 x y z 【例 9】解方程组 1 2 5 2 7 xyz yzu zuv uvx vxy ( , , , ,x y z u v为正整数) 【考点】二元一次方程组【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 将 5 个式子相加得17xyzuv,将 1 式与 2 式相加得3xu,将 2 式与 3 式相加得7yv,同理连续相加得到 3 7 7 9 8 xu yv zx uy vz ,整理后解为 0 6 7 3 1 x y z u v 【答案】 0 6 7 3 1 x y z u v
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