8-4. 体育比赛 . 题库教师版 page 1 of 17 体育比赛中的数学 对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、 负、平”必然对应着 “另一队的负、 胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整 体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。 【例 1】三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？ 一共要进行多少场比赛？（如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为 单循环赛） 【考点】体育比赛【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 （法一）题意要求每两个点之间都连一条线段先考虑点A( 如图 ) ，它与B、C、 D三点能且只能连接三条线段AB、AC、AD；同样，从点B也可以连出三条线 段BA、BC、BD；从点C可以连出三条线段CA、CB、CD；从点D可以连出 三条线段DA、DB，DC因此，从一个点可以连三条线段从每个点都连出三 条线段，共有四个点3 412( 条) 注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点连出的，并且每一条线段都是这样( 如图 ) ， 所以，线段的总数应为：6( 条 ) （法二）从点A引出三条线AB、AC、AD， 为避免重复计数， 从B点引出的线段只计BC、 BD两条，由C点引出的只有CD一条因此，线段的总数为3216( 条) 通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了一共有四个队，每个队都要 比赛413场，一共有比赛3426场 【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那 么，从一个点可以连出几条线段？一共可以连多少条线段？ D C B A D C B A 【答案】6场 【巩固】市里举行足球联赛，有5个区参加比赛，每个区出2个代表队每个队都要与其 他队赛一场，这些比赛分别在5个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举 行多少场比赛？ 【考点】体育比赛【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 一共有5 210（个）队参加比赛，共赛10(101)245（场），平均每个体育 例题精讲 知识点拨 体育比赛问题 8-4. 体育比赛 . 题库教师版 page 2 of 17 场都要举行 4559（场）比赛 【答案】9场 【巩固】二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比 赛？ 【考点】体育比赛【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 每个班要进行5场，一共要进行6 5215（场）比赛 【答案】每个班要进行5场，一共要进行15场比赛 【巩固】 20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比 赛多少场？ 【考点】体育比赛【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 假设20名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他19名运动员都赛过了，也就 是一共赛了19场 【答案】一共赛了 19场 【例 2】8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 方法一：8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1 场，因此共进行了 4217（场） 比赛 方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队， 因此进行了7场比赛 【答案】7场比赛 【例 3】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行 了36场比赛，有人参加了选拔赛 A.8B.9C.10 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】选择 【关键词】 2008，第四届，IMC国际数学邀请赛，新加坡，初赛 【解析】 三个人比赛， 可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛4 326场； 如果有五个人比赛，那么可以比赛 54210场；如果有9个人比赛，那么可以 比赛98236场，所以答案是B 【答案】答案是B 【巩固】朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有 几个学校参加了比赛？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 假设有 n个学校参加比赛，那么就有(1)2nn场比赛，现在已知共赛了28场， 那么8n，也就是有8个学校参加了比赛 【答案】8个学校 【例 4】有8个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几 局？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】8个选手进行乒乓球单循环赛，每个选手都要参加7场比赛，而且每人获胜局数各 不相同，所以每人获胜的局数分别为0 7局，那么冠军胜了7局 8-4. 体育比赛 . 题库教师版 page 3 of 17 【答案】冠军胜了7局 【例 5】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止， A已经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛 1盘问：此时E同学赛了几盘？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 画5个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按 要求画一画 E D C B A 根据题意，A已经赛4盘，说明A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点 相连D赛 1盘，是与A点相连的B赛3盘，是与A、C、E点相连的C赛2盘，是与 A、B点相连的从图上E点的连线条数可知，E同学赛了2盘 【答案】E同学赛了2盘 【巩固】八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要 赛一场，一个月过后，八一队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场，山东 队赛了 1场那么广东队赛了几场？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 八一队赛了4场，说明八一队和其它四队都赛过了 山东队赛了 1场，说明只和八一队赛过 北京队赛了3场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过 江苏队赛了2场，说明与八一队、北京队赛过 由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了2场 【答案】赛了 2场 【巩固】A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已 经分别赛过54、3、2、l盘。问：这时F已赛过盘。 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】填空 【解析】 3 盘。 【答案】 3 盘 【例 6】趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自 己的原搭档在一起表演男士用A、B、C表示，女士用甲、乙、丙表示已知 前面表演过程中A和甲一起滑过，B和丙一起滑过，C和甲一起滑过，B和乙一 起滑过，C的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 根据题意可列出以下表格，“”表示二者不可能是新搭档 由上图可以发现甲的新搭档是B，C的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是A，乙的新 搭档是C 8-4. 体育比赛 . 题库教师版 page 4 of 17 【答案】乙的新搭档是C 【例 7】东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同问 另一个人胜了几场？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 东 东 、 西 西 、 南 南 、 北 北 四 人 进 行 单 循 环 赛 ， 则 每 人 都 赛3场 ， 共 赛 3426( 场) 如果其中有三人都胜3场，则至少进行9场比赛， 这是不可能的； 如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2 场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各 胜 1场，另外 3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场也是 不可能的因此，如果有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能 胜3场 【答案】另一个人可能胜0场，也可能胜3场 【巩固】东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果3人获胜的场数各不相同问 第一名胜了几场？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223（场）比赛每场 比赛都有一人获胜，每人都赛2场由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人 获胜的场数分别为2、 1、0显然，第一名是胜了2场 【答案】第一名是胜了2场 【例 8】参加世界杯足球赛的国家共有 32个（称32强） ，每四个国家编入一个小组，在第 一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比 赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生 8强、4强、 2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名至此，本届世界杯的所有比赛结 束 根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 单循环赛中，有 3248（个）组每组4个队 每组四个队中，每个队要与其 他3队都比赛1场，每个队就比3场因为每场比赛要2个队所以1 组里有 4326（场） 有8个组，单循环赛就有8648（场）进入淘汰赛，有16个 队，淘汰赛每比1场就淘汰 1个队，最后决出冠军1个队，就比了16115场，还 要决出第三名，第四名，又多了1场淘汰赛就有15 116场世界杯的足球赛 全程共有481664（场） 【答案】64场 【例 9】四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分， 比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 四个人循环比赛总共比赛 4326（场） ，每场无论分出胜负还是打平，两人的 得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分） 【答案】12分 【巩固】五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比 赛结束后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？ 8-4. 体育比赛 . 题库教师版 page 5 of 17 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 四个人循环比赛总共比赛 5 4210（场） ，每场无论分出胜负还是打平， 两人的 得分和一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是2 1020（分） 【答案】20分 【例 10】 五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场每场比赛胜者得2分、 负者得0分、打平两队各得1分比赛结果各队得分互不相同已知：第1名的 队没有平过；第2名的队没有负过；第4名的队没有胜过问全部比赛共打 平了场 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】填空 【解析】5支球队进行循环赛，共需要打10场，产生总分20分由、知第1名负于第2 名 ， 那 么 第 1 名 最 多 得2 36分 由 于 各 队 得 分 互 不 相 同 ， 而 且 6543220，所以5支球队得分依次为6分、5分、4分、3分、2分第 一名没有平过，又只得到了6 分，因此负过一场， 而第二名的队没有负过，因此第 一名应该负于第二名，胜3， 4，5 名第二名得了5 分，其中胜第一名得了2 分， 又没有负过，因此和3，4，5 名皆为平局第四名得了3 分，其中输给了第一名， 平了第二名，没有胜过，因此和第3，5 名都是平局第三名得了4 分，输给了第 一名，平了2，4 名得 2 分，因此胜了第5 名得 2 分第五名显然只和第2，4 名平 了，其余皆负综上，所有比赛平了5 场，分别是2-3 ，2-4 ，2-5 ，3-4 ，4-5 【答案】平了5 场 【巩固】一次象棋比赛共有10 名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都 与其余 9 名选手各赛1 盘，每盘棋的胜者得1 分，负者得 0 分，平局双方各得0.5 分结果，甲队选手平均得4.5 分，乙队选手平均得3.6 分，丙队选手平均得9 分那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？ 【考点】体育比赛【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 由题意可知，这次比赛共需比 9872145L ( 盘) 因为每盘比赛双方得分的和都是1 分 (101或0.521) ，所以10 名选手的总得分为 14545( 分) 每个队的得分不是整数，就是“&.5 ”这样的小数由于乙队选手平均得