研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通 过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、 拼补， 使它变成可以计算出面积的规则图形来 计算它们的面积 圆的面积 2 r；扇形的面积 2 360 n r； 圆的周长2 r；扇形的弧长2 360 n r 一、跟曲线有关的图形元素： 扇形： 扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部 分我们经常说的 1 2 圆、 1 4 圆、 1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这 个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几那么一般的求法是什么呢？关键是 360 n 比如：扇形的面积所在圆的面积 360 n ； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 360 n 扇形的周长所在圆的周长 360 n 2半径 ( 易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) 弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积 一般来说，弓形面积扇形面积 - 三角形面积(除了半圆 ) ”弯角”：如图：弯角的面积正方形 - 扇形 ”谷子”：如图：“谷子”的面积弓形面积 2 二、常用的思想方法： 转化思想 ( 复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) 等积变形 ( 割补、平移、旋转等) 借来还去 ( 加减法 ) 外围入手 ( 从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块二曲线型面积计算 例题精讲 圆与扇形 【例 1】如图，已知扇形BAC的面积是半圆ADB面积的 3 4 倍，则角CAB的度数是 _ D C BA 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】填空 【解析】 设 半 圆ADB的 半 径 为1， 则 半 圆 面 积 为 21 1 22 ， 扇 形BAC的 面 积 为 42 233 因为扇形BAC的面积为 2 360 n r，所以， 22 2 3603 n ，得到 60n，即角CAB的度数是60 度 【答案】 60 度 【例 2】如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为 半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度 ( 3) 6 7 C B A 【考点】圆与扇形【难度】 4星【题型】解答 【解析】 1 6721 2 ABC S , 三角形 ABC内两扇形面积和为21 174， 根据扇形面积公式两扇形面积和为 2 24 360 BC , 所以120BC,60A. 【答案】 60 度 【例 3】如图，大小两圆的相交部分( 即阴影区域 ) 的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积 的 3 5 如果量得小圆的半径是5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 小圆的面积为 2 525，则大小圆相交部分面积为 3 2515 5 , 那么大圆的面 积为 4225 15 154 ，而 2251515 422 ，所以大圆半径为7.5厘米 【答案】 7.5 【例 4】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆( 如图 ) ，此时橡皮 筋的长度是多少厘米？(取 3) C BA 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 由右图知，绳长等于6 个线段AB与 6 个BC弧长之和 将图中与BC弧相似的6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6 个角的和是360， 所以BC弧所对的圆心角是60，6 个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长 而线段AB等于塑料管的直径， 由此知绳长为： 565 45( 厘米 ) 【答案】 45 【例 5】如图，边长为12 厘米的正五边形，分别以正五边形的5 个顶点为圆心，12 厘米 为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？( 3.14) 【考点】圆与扇形【难度】 4星【题型】解答 【解析】 如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以ABCB，同理CBAC，则ABC是 正三角形，同理，有CDE是正三角形有60ACBECD o ，正五边形的一 个内角是 1803605108 ooo ， 因此60210812ECA ooo ， 也就是说圆弧AE 的长度是半径为12 厘米的圆周的一部分，这样相同的圆弧有5 个，所以中间阴影 部分的周长是 12 23.14 12512.56 cm 360 o o 【答案】 12.56 【例 6】如图是一个对称图形比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分 面积 _灰色部分面积 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】填空 【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 1 4 ， 则 4 个小圆的面积之和等于大圆的面积而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆 盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等 【答案】相等 【例 7】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1S ， 空白部分面积为2S ， 那么这两个部分的面积之比是多少？( 圆周率取3.14) 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 如图添加辅助线， 小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样， 空白部分就是一个 圆 的 内 接 正 方 形 设 大 圆 半 径 为 r ， 则 2 2 2Sr， 22 1 2Srr， 所 以 12 :3.142 :257 :100SS 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系 【答案】 57:100 【例 8】用一块面积为36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7 个同样大小的圆铝 板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形【难度】 4星【题型】解答 【解析】 大圆直径是小圆的3 倍，半径也是3 倍，小圆面积大圆面积 22 :1:9rR， 小圆面积 1 364 9 ，7个小圆总面积4728， 边角料面积36288( 平方厘米 ) 【答案】 8 【例 9】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1求阴 影部分的面积 【考点】圆与扇形【难度】 4星【题型】解答 【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形 由右图可见，阴影部分面积等于 1 6 大圆面积减去一个小圆面积，再加上120的小扇形面积 ( 即 1 3 小圆面积 ) ，所以相当于 1 6 大圆面积减去 2 3 小圆面积 而大圆的半径为小圆的3 倍，所 以其面积为小圆的 2 39 倍，那么阴影部分面积为 2 125 9 1 2.5 636 【答案】 2.5 【例 10】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040 平方厘米，空白部 分是 6 个半径为10 厘米的小扇形( 圆周率取3.14) B C O A 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已 知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式 2 360 n R S扇 可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60，那么 120AOC，又知四边形ABCO是平行四边形，所以120ABC，这样就可求出扇形的 面积和为 2120 6 10628 360 ( 平方厘米 ) ，阴影部分的面积1040628412( 平方厘米 ) 【答案】 412 【例 11】 ( 09 年第十四届华杯赛初赛) 如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心， ? ACCDDB ，M是 ? CD 的中点，H是弦CD的中点若 N是OB上一点，半圆 的面积等于12 平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米 M CD H NOB A 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】填空 【解析】 如下图所示，连接OC、OD、OH H N M O D C BA 本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是 ? CD 的中点，H是弦CD的中点，可见这 个图形是对称的，由对称性可知 CD与AB平行由此可得CHN的面积与CHO的面积相 等， 所以阴影部分面积等于扇形COD面积的一半， 而扇形COD的面积又等于半圆面积的 1 3 ， 所以阴影部分面积等于半圆面积的 1 6 ，为 1 122 6 平方厘米 【答案】 2 【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6求图中 阴影部分的面积 DC BAO DC BAO 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 如图，连接OC、OD、CD 由于C、D是半圆的三等分点，所以AOC和COD都是正三角形，那么CD与AO是平行 的所以 ACD的面积与OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积， 为 21 618.84 6 【答案】 18.84 【例 12】 如图，两个半径为1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求 图中两块阴影部分的面积之差(取 3) O D C B A 【考点】圆与扇形【难度】 4星【题型】解答 【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算 它们的差， 但是这样较为繁琐由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴 影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积 如右图所示， 可知弓形 BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC剩下的图形中， 容易看出来AB与CD是平行的，所以BCD与ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与 扇形ACD的面积相等，而扇形ACD的面积为 260 10.5 360 ，所以图中两块阴影部分的 面积之差为 0.5 【答案】 0.5 【例 13】 如图， 两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多 少？ ( 圆周率取3.14) A F E D CB M A F E D CB 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 方 法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF与梯形ABCD的面积均为 122aa 阴影部分为： 大正方形梯形三角形ABF右上角不规则部分 大 正 方 形右 上 角 不 规 则 部 分 1 4 圆 因 此 阴 影 部 分 面 积 为 ： 3.14 12 124113.04 方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形 蝴蝶定理有 ADMCMF SS ，所以 DCF SS 阴影扇形3.14 12 124113.04 【答案】 113.04 【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10 和 6，求阴影部分的面积( 取 3) 610 GF ED CBA610 GF ED CBA 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】( 法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，那 么求出月牙BCD的面积就成了解题的关键 月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆： 1 66 669 4 ； 则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为： 1 1066939 2 S阴影 ( 法 2) 观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF 则ABD与BDF面积相等， 那么阴影部分面积等于BDF与小弓形的面积之和，也就等于 DEF与扇形BED的面积之和，为： 211 (106)6 639 24 【答案】 39 【例 14】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径已知 10ABBC，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14) D B P C A D B P C A 【考点】圆与扇形【难度】 3星【题型】解答 【解析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M 点，那么ABD与ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP与圆内的小弓 形的面积和 ABP的面积为： 10102225 ； 弓形面积：3.14 5545527.125； 阴影部分面积为：257.12