教师寄语 ：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 1 1、 掌握如下两个关系： （1）环形跑道问题同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次 （2）环形跑道问题同一地点出发，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次 2、遇见多人多次相遇、追及能够借助线段图进行分析 3、用比例解、数论等知识解环形跑道问题 本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追 及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的 每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用： 路程和 =相遇时间速度和 路程差 =追及时间速度差 二、解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而 行，则每追上一圈相遇一次这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 环线型 同一出发点直径两端 同向：路程差nS nS+0.5S 相对 ( 反向 ) ：路程和nS nS-0.5S 模块一、常规的环形跑道问题 【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500 米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走 66 米，麻雀每分钟走59 米经过几分钟才能相遇? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行6659125（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需 要几分钟，即500(6659)5001254（分钟） 【答案】 4分钟 【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55 米，周老师每分 钟走 65 米。已知林荫道周长是480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他们第 10 次相遇后，王老师再走米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级 ,1 试 【解析】 几分钟相遇一次：480（ 5565）=4（分钟） 知识精讲 教学目标 环形跑道问题 教师寄语 ：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 2 10 次相遇共用： 4 10=40（分钟） 王老师 40 分钟行了： 5540=2200（米） 2200480=4（圈） 280（米） 所以正好走了4 圈还多 280 米， 480 280=200（米） 答：再走 200 米回到出发点。 【答案】 200 米 【例 2】上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒 钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2) 小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛 【解析】 第 一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150 秒，小亚跑了 6150900（米） 。小胖跑了4 150600（米） ；第一次追上时，小胖跑了2圈， 小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈。 【答案】小胖跑4圈，小亚跑6圈 【巩固】小张和小王各以一定速度，在周长为 500米的环形跑道上跑步 小王的速度是 200 米/ 分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小 张的速度是多少米 / 分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑 多少圈后才能第一次追上小王？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人相遇， 也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是500 1200300 （米 / 分） 在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的 时间是： 500(300200)5 （分） 300 55003（圈） 【答案】 300米/ 分3圈 【巩固】一条环形跑道长400 米，甲骑自行车每分钟骑450 米，乙跑步每分钟250 米，两 人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】4004502502（）( 分钟 ) 【答案】2分钟 【巩固】小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250 米，正南每分钟跑210 米，一 圈跑道长800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分 钟？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 小新第一次超过正南是比正南多跑了一圈，根据 Sv t 差差 ，可知小新第一次超过正 南需要：80025021020（）( 分钟 ) ，第三次超过正南是比正南多跑了三圈，需 要800 325021060（）( 分钟 ) 【答案】60分钟 【巩固】幸福村小学有一条200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每 秒钟跑 6 米，晶晶每秒钟跑4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米， 第 2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与晶晶两人同时同地起跑，方向一致 因此， 当冬冬第一次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 教师寄语 ：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 3 米) ，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及 时间以及他们各自所走的路程 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：20064100（）( 秒) 冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100600( 米) 晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100400( 米) 冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：600 22006（）( 圈) 晶晶第2 次被追上时所跑的圈数： 400 22004（） ( 圈) 【答案】 4圈 【巩固】小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是400 米的环形跑道，小刚对 小明说：“咱们比比看谁跑的快”，于是两人同时同向起跑，结果 10 分钟后小明第 一次从背后追上小刚，同学们一定知道谁跑得快了，小明的速度是每分钟跑140 米，那么如果小明第3次从背后追上小刚时，小刚一共跑了米 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级 【解析】140 104001000米，1000 33000米。 【答案】3000米 【巩固】如图 1，有一条长方形跑道，甲从A 点出发，乙从C 点同时出发，都按顺时针方 向奔跑，甲每秒跑5 米，乙每秒跑4.5米。当甲第一次追上乙时，甲跑 了圈。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】(10+6) (5-4.5)=32秒，甲跑了53232=5 圈 【答案】 5 圈 【例 3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑200 米，两人同时同地同向出发，经过45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出 发，经过多少分钟两人相遇？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发， 其实追 及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周 的长度环形道一周的长度可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问 题，两人速度差为：25020050( 米/ 分) ，所以路程差为：50452250( 米) ， 即 环 形 道 一 圈 的 长 度 为2250米 所 以 反 向 出 发 的 相 遇 时 间 为 ： 22502502005（）( 分钟 ) 【答案】5分钟 【巩固】两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑3 米，小雅每秒跑4 米，反向而行，45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 （4+3）45=315 米环形跑道的长（相遇问题求解）315（4-3 ）=315 秒 （追及问题求解） 【答案】 315 秒 教师寄语 ：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 4 【巩固】一条环形跑道长400 米，小青每分钟跑260 米，小兰每分钟跑210 米，两人同时 出发，经过多少分钟两人相遇 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 小青每分钟比小兰多跑50 米一圈是400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 【答案】 8 分钟 【巩固】甲、乙两人从400 米的环形跑道上一点A 背向同时出发，8 分钟后两人第五次相 遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上 的最短路程是多少米? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 176 【答案】 176 【例 4】在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2 分 30 秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 同向而跑，这实质是快追慢起跑后， 由于两人速度的差异，造成两人路程上的差 异，随着时间的增长，两人间的距离不断拉大，到两人相距环形跑道的半圈时，相 距最大 接着， 两人的距离又逐渐缩小，直到快的追上慢的，此时快的比慢的多跑 了一圈背向而跑即所谓的相遇问题，数量关系为： 路程和速度和相遇时间 同 向而行 2 分 30 秒相遇， 2 分 30 秒 150 秒，两个人的速度和为：300 150=2（米 / 秒） ，背向而跑则半分钟即30 秒相遇，所以两个人的速度差为：300 30=10（米 / 秒） . 两人的速度分别为：10224（）( 米/ 秒) ，1046( 米/秒) 【答案】6米/ 秒 【巩固】在 400 米的环形跑道上， 甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3 分 20 秒相遇， 如果背向而行40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 甲乙的速度和为：4004010( 米/ 秒)，甲乙的速度差为：4002002( 米/ 秒 ) ， 甲的速度为： 10226（） ( 米/ 秒) ，乙的速度为： 10224（） ( 米/ 秒) 【答案】 4米/ 秒 【例 5】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55 米，周老师每 分钟走 65 米。已知林荫道周长是480 米，他们从同一地点同时背向而行。在他 们第 10 次相遇后，王老师再走米就回到出发点。 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人每共走1 圈相遇 1 次，用时 480(55+60)=4( 分) ，到第 10 次相遇共用40 分 钟，王老师共走了。5540=2200（米） ，要走到出发点还需走，4805-2200=200 （米） 【答案】 200 米 【巩固】在周长为200 米的圆形跑道条直径的两端，甲、乙两人分别以6 米/ 秒， 5 米/ 秒的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内，甲追上乙多少次? 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 教师寄语 ：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。 5 【解析】 甲、 乙二人第一次相遇时，一共走过的路程是 200 2 100( 米) 所需要的时间是 100 11 ( 秒) 以后，两人每隔 200 2 ( 秒) 相遇一次因为 100 60 16 11 1 200 11 53.3 ， 16 分钟内二人相遇53 次 . 【答案】 53 次 【巩固】在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4 分钟相遇一次；如 果两人从同处同向同时跑，每隔20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600 米，那么两人的速度分别是多少？ 【考点】行程问题之环形跑道【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 两人反向沿环形跑道跑步时，每隔 4 分钟相遇一