空间图形的公理,思考：1、直线l上有一个点P在平面内，直线l 是否全部落在平面内？ 2、直线l上有两个点P、Q在平面内， 直线l是否全部落在平面内？,二、平面的基本性质,若一条直线的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内,公理1,A,B,即:,思考2:请你用尺子做实验并回答以下问题（分组讨论） 1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过三点有几个平面？,不共线三点确定一个平面,经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。,公理2,推论1,A,a,经过一条直线和这 条直线外一点,有且只有一 个平面.,推论2 经过两条相交直线， 有且只有一个平面.,推论3 经过两条平行直线， 有且只有一个平面.,b,a,a,b,A,B,C,例1、求证： 两两相交于不同点的三条直 线必在同一个平面内,点评：证明点共面或线共面（纳入法）先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。,例4、证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。,（1）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A，a、c相交点C，b、c相交点B,（2）若有三线共点，设相交于点A,例2、,在空间四边形中ABCD中，E、F、G、H分别是 边AB、BC，CD，DA的中点。求证：四边形 EFGH是平行四边形。,例3、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点. 求证：E，C，D1，F四点共面；,例7、 如图，在正方体 中， 为 上的中点，画出平面 与平面 的交线。,例4、空间四边形ABCD中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点 求证: EG、FH、MN共点,探讨1：若3条直线相交于一点时，则这3条直线确定几个平面？如果4条直线相交于一点呢？,(1)3条直线共面时,(2)每2条直线确定 一平面时,(1)4条直线 全共面时,(2)有3条直线共面时,(3)每2条直线都确定一平面时,思考3:把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B？为什么？,B,公理3,若两个平面有一个公共点，则它们还有其他公共点，这些公共点的集合是,一条过这个公共点的直线,即:,证明：,（公理2）,同理可证：,点评：证明点共线证明这些点同时在两相交平面内,A,B,C,P,R,Q,例6、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点. 求证: CE，D1F，DA三线共点.,点评：证明线共点先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。,探讨2：3个平面可将空间分成几部分？,（2）,（3）,（4）,（5）,例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M 求证：点C1、O、M共线,平面的基本性质,公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。,公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,公理2:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。,推论1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。,推论2: 经过两条相交直线有且只有一个平面。,推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。,基本题型,证明线共点：先确定两条直线交点，再证交点在第三条直线上。,证明点共线：证明这些点同时在两相交平面内,证明点共面或线共面：先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。,