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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.3. 回答第卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第卷一选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A=|,B=|22,则=.-2,-1.-1,2).-1,1.1,2)2.=.3.设函数,的定义域都为R,且时奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是.是偶函数.|是奇函数.|是奇函数.|是奇函数4.已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为.3.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率.6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在0,上的图像大致为7.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=.8.设,且,则.9.不等式组的解集记为.有下面四个命题:,:,:,:.其中真命题是.,.,.,.,10.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个焦点,若,则=.3.211.已知函数=,若存在唯一的零点,且0,则的取值范围为.(2,+).(-,-2).(1,+).(-,-1)12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为.6.4第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。二填空题:本大题共四小题,每小题5分。13.的展开式中的系数为.(用数字填写答案)14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为.16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,=1,其中为常数.()证明:;()是否存在,使得为等差数列?并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);本文来自有途高考网http:/gaokao.ccutu.com()由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.(i)利用该正态分布,求;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.附:12.2.若,则=0.6826,=0.9544.19. (本小题满分12分)如图三棱锥中,侧面为菱形,.()证明:;()若,AB=Bc,求二面角的余弦值.20. (本小题满分12分)已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.()求的方程;有图高考网()设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,处的切线为.()求; ()证明:.请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.()证明:D=E;()设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:ADE为等边三角形.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线:,直线:(为参数).()写出曲线的参数方程,直线的普通方程;()过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.24. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲若,且.()求的最小值;()是否存在,使得?并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案(B卷)一选择题1. A 2.D3.C 4.A 5.D6.C7 .D8. C 9. B 10.B11.C 12.B二填空题13.-20 14.A 15.90度 16.三解答题17.解:(I)由题设,=bSn-1,=bSn-1两式相减的=b由于,所以()由题设,由(I)知解得b=4故,由此可得是首项为1,公差为4的等差数列,是首项为3,公差为4的等差数列,=4n-1所以因此存在b=4,使得数列为等差数列(18)解(I)收取产品的质量指标值的样本平均数a和样本方差b分别是 a=200 b=150()由上诉可此,ZN(200,165),从而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826依题意可知XB(100,0.6826),所以EX=100(19)解:(I) 连结,交于点O,连结AO。因为侧面为菱形,所以,且O为及的中点。又,所以平面ABO,由于AO平面ABO,故又,故AC=, 6分(II)因为,且O为的中点,所以AO=CO。又因为AB=BC,所以。故,从而OA、OB、两两相互垂直。 以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间指教坐标系O-xyz. 因为,所以为等边三角角,又AB=BC,则A,B(1,0,0),,设式平面的法向量,则即所以,取n=(1,)设m是平面的法向量,则同理可取m=(1,-,)则cos=所以,所求角A-A2B2-C1的余弦值为(20)解:(1)设F(C,0),由条件知,又故E的方程为故设l:y=kx-2,P(x1,x2)将y=kx-2代入+y2=1得 (1+4k2)x2-16kx+12=0当0,即时,=从而 |PQ|=|=又点O到直线PQ的距离d=。所以的面积.9分设,则t0,因为t+4.当且仅当t=2,即k=时等号成立,且满足0.所以,OPQ的面积最大时,l的方程为.12分(21)解:(I)函数f(x)的定义域为,f(x)=,由题意可得f(1)=2 ,f(1)=e故a=1,b=25分(II)由(I)知,f(x)=,从而f(x)1等价于xlnx.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx所以当x(0,)时,g(x)0;当x()时,g(x)0.故g(x)在(0,)单调递减,在(,+)单调递增,从而g(x)在的最小值为g()=-8分设函数h(x)=,则h(x)=.所以当时,h(x)0;当时,h(x)0.故h(1)在(0,1)单调递增,在单调递减,从而h(x)在的最大值为h(1)=综上,当x0时,g(x)h(x),即f(X)1.12分(22)解:(I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以D=CBE由已知得CBE=E,故D=E5分(II)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MNBC,故O在直线MN上。又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD所以AD/BC,故A=CBE又CBE=E,故A=E。由(I)知,D=E,所以ADE为等边三角形。(23)解:(I)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2x+y-6=0(II)曲线C上任意一点P(,)到l的距离为则,其中为锐角,且tan=当=-1时,取得最大值,最大值为当=1时,取得最小值,最小值为(24)解:(I)由,得ab2,且当a=b=时等号成立故所以的最小值为(II)由(I)知,2a+3b由于6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6
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