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,题型4实际应用问题,类型函数实际应用问题,例12018衢州某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度,规范解答:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 ya(x3)25(a0),(2分) 将(8,0)代入 ya(x3)25,得25a50, 解得a , 水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y (x3)25(0 x8)(8分),(2)当y1.8时, (x3)251.8, 解得x11(舍去),x27, 为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心 7米以内(10分),【满分必练】,12018淮安某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为 40 元经市场调研, 当该纪念品每件的销售价为 50 元时,每天可销售 200 件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少 10 件 (1)当每件的销售价为 52 元时,该纪念品每天的销售数量为_件; (2)当每件的销售价x (元)为多少时,销售该纪念品每天获得的利润 y (元) 最大?并求出最大利润,解:(1)180.,(2)y(x40)20010(x50)(x40)(70010 x)10 x21100 x28000. 100, 当x 55时,y有最大值,y最大值为2250. 答:当每件的销售价为55元时,销售该纪念品每天获得的利润最大,最大利润为2250元,22018滨州 如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度 y(单位:m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有函数关系y5x220 x,请根据要求解答下列问题: (1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15m时,飞行的时间是多少? (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少? (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?,解:(1)当y15时,5x220 x 15, 化简,得x24x30,即(x1)(x3)0, 故x1或3, 即当小球的飞行高度为15m时,飞行时间是1秒或者3秒,(2)飞出和落地的瞬间,高度都为0, 所以有05x220 x,解得x0或4, 所以,从飞出到落地所用时间是4秒,(3)y5x220 x5(x2)220, 当x2时,y取得最大值,此时y20, 所以当x2时,小球的飞行高度最大,最大高度为20米,32017福建如图,一个矩形菜园ABCD,一边AD靠墙(墙MN长为a米,MNAD),另外三边用总长100米的不锈钢栅栏围成 (1)当前a20米时,矩形ABCD的面积为450平方米,求AD长; (2)求矩形ABCD面积的最大值,解:(1)设ADx米, 则BCx米,ABCD (100 x) (50 x)米, 依题意,有x(50 x)450, 整理,得x2100 x9000,解得x90或x10. MNa20,MNAD, x9020不合题意,舍去, x10,即AD长为10米,(2)设AD y,则ABCD(50 y)米, 满足 解得0y100. 设矩形ABCD的面积为S,则 S y(50 y) y250y ( y50)21250, 若a50,则当 y50时,S最大1250; 若当0a50,则当0ya时,S随y的增大而增大, 故当ya时,S最大50a a2. 综上所述,当a50时,矩形菜园ACBD的面积的最大值是1250平方米 当0a50时,矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50a a2)平方米,42018黔西南州某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示,成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段,图2的图象是抛物线) (1)已知6月份这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的收益是多少元?(收益售价成本) (2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由; (3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元,且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克,求4、5两个月的销售量分别是多少万千克?,解:(1)当x6时, y13,y21, y1y2312, 6月份出售这种蔬菜每千克的收 益是2元,(2)设 y1mxn,y2a(x6)21. 将(3,5),(6,3)代入 y1mxn, 得 解得 y1 x7. 将(3,4)代入 y2a(x6)21, 4a(36)21,解得a , y2 (x6)21 x24x13. y1y2 x7( x24x13) x2 x6 (x5)2 . 0, 当x5时,y1y2取最大值,最大值为 , 即5月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大,(3)当x4时,y1y2 x2 x62. 设4月份的销售量为 t万千克,则5月份的销售量为(t2)万千克, 根据题意,得2t (t2)22,解得t4, t26. 答:4月份的销售量为4万千克,5月份的销售量为6万千克,类型方程、不等式与函数实际应用问题,例22018青岛某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品公司按订单生产(产量销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件此产品年销售量y(万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式yx26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式; (2)该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少? (3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元,(2)该产品第一年的利润为20万元, x232x23620, (x16)20,x1x216. 答:该产品第一年的售价是16元(8分),规范解答:(1)根据题意,得W1xy6y80(x26)x6(x26)80 x226x6x15680, 故W1x232x236.(5分),(3) 依题意,得W2yx5y20(x26)x5(x26)20, W2x231x150. 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, x16. 另外受产能限制,销售量无法超过12万件, x2612,解得x14, W2x231x150(14x16)(10分) 10,对称轴为x , x14时,W2有最小值为88万元 答:利润最少为88万元(12分),满分技法(1)方程、不等式与函数实际应用问题需要掌握以下几个类型的问题:一、一次函数与方程或不等式的综合应用,这类属于高频命题形式,考查内容可以涉及多个,如一次函数图象信息题,一次函数方案选择类型问题等,结合二元一次方程组、不等式、分式方程和一元二次方程等多种考查形式;二、二次函数与方程或不等式的综合应用,包括销售利润类,与一次函数结合等类型(2)命题中常常以方程或方程组,根据已知条件确定某个量,利用不等式或不等式组确定变量的取值范围,再根据函数的性质解答问题(3)利用表格、图例、函数图象等手段,利用实际问题中的数量关系是解决问题的基础,关于运用转化为方程、不等式或函数模型是解决问题的关键,把握数量间的内在联系,从整体着眼探索方法,从细微处思考争满分,【满分必练】,52018南通小明购买A,B两种商品,每次购买同一种商品的单价相同,具体信息如下表:,根据以上信息解答下列问题: (1)求A,B两种商品的单价; (2)若第三次购买这两种商品共12件,且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由,分析:(1)根据表格中的信息可以知道,购买2件A的费用购买1件B的费用55元,购买1件A的费用购买3件B的费用65元,根据这两个等量关系可以列二元一次方程组解决;(2)要解决购买商品的最省钱的购买方案,可考虑利用函数的增减性求总费用的最小值在求函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围,(2)设第三次购买A种商品m件,购买商品的总费用W元,则购买B种商品(12m)件 W20m15(12m)5m180. 由题意,知m2(12m), m8. W随m的增大而增大, 当m8时,W有最小值,此时12m4. 最省钱的购买方案是购买A种商品8件,B种商品4件,解:(1)设A,B两种商品的单价分别为x元,y元 根据题意,得 解得 答:A,B两种商品的单价分别为20元,15元,62018河南某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量 y(个)与销售单价 x(元)之间满足一次函数关系,关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如下表: (注:日销售利润日销售量(销售单价成本单价),(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空:该产品的成本单价是_元,当销售单价x_元时,日销售利润w最大,最大值是_元; (3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系,若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元?,(2)80;100;2000.,(3)设该产品的成本单价为a元, 由题意,得(590600)(90a)3750, 解得a65. 答:该产品的成本单价应不超过65元,解:(1)设y关于x的函数解析式为ykxb, 由题意,得 解得 y关于x的函数解析式为y5x600. 当x115时,m511560025.,72018眉山传统的端午节即将来临,某企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只? (2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润出厂价成本),解:(1)634204(只), 前六天中第6天生产的粽子最多达到 204只, 20 x80280, 解得x10. 答:第10天生产的粽子数量为280只,(2)当0 x10时,p2, 当10 x20时,设pkxb,将(10,2)和(20,3)代入, 得 解得 p x1. 当0 x6时,w(42)34x68x,w随x的增大而增大, 当x6时,w的最大值为408; 当6x10时,w(42)(20 x80)40 x160,w随x的增大而增大,当x10时,w最大值为560; 当10 x20时,w(4 x1) (20 x80)2x252x240,对称轴为x13,在10 x20内,将x13代入,得w最大578. 综上所述,w与x的函数表达式为w 第13天的时候利润最大,最大利润为578元,
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