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一、有理数的相关概念:1. 负数(1)正数:大于0的数叫做正数。(2)负数:在正数前面加上“-”的数叫做负数。a) “-”读作负号。b) 一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号(3)0:既不是正数也不是负数。取一个基准量,记为0;大于(高于)基准量的数为正数,小于(低于)基准量的数为负数;习题:1、某仓库运进货物30吨,记作30吨,那么50吨表示( );2、物体向东运动4m,记作4m,那么向西运动5m,记作( )3、某零件的直经尺寸在图纸上是 10 005 (mm),表示这种零件的标准尺寸是 _ (mm),合格产品的零件尺寸范围是 (mm)。2. 有理数分类1:有理数整数正整数负整数0分数正分数负分数 分类2:有理数正有理数正整数正分数负有理数负整数负分数0数的分类注意: a) 0非正非负,0是整数,0是自然数b) 小数可以化为分数,所以小数属于分数习题:1、把下列各数分别填入相应的集合内:,0,3.01,整数集合: 分数集合: 负数集合: 正数集合: 3.数轴:用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴。三要素:原点、正方向、单位长度a) 在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;b) 通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;c) 选取适当的长度为单位长度。方向表示正负,距离表示数。数轴上,唯一的点唯一的数(1) 给数描点,给点读数(2) 比较大小:从左到右,由小变大;(3) 会找有特定限制的数,比如,小于4的正整数。习题:1、把5,6,2,3,0,4在数轴上表示出来,并用“”把它们连接起来。2、a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示,则下列结论中错误的是( )()a+b0()a+c0 ()bc 左边。(7)一个数由符号和绝对值两部分组成,这两部分确定了,这个数就确定了。习题:1、绝对值是它本身的数是2、如果|x8|5,那么x。3、绝对值不大于4的整数共有_个,其中最小的是_,绝对值最小的是_4、已知,则 。5.当a0时, ;的相反数是 ,绝对值为5的数是 ,6.绝对值最小的数是 ,绝对值等于 的数是 。7.绝对值小于3的整数有 个,它们是 ;绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 。8.已知,则 。9.若,且a0,b0,则 。10.满足的数有 个。11.若,则 。12.的绝对值与的相反数的差是 。13.若、互为倒数,、互为相反数, 14.若、互为相反数,、互为倒数,有理数在数轴上的对应点到原点的距离为1,则代数式的值是 。15.若,则 0,若,则 0。16.已知,求的值。33.已知 a0, b0,且ab,试用“”号将、连接起来。17.有理数、在数轴上的对应点如图所示,则下列结论错误的是A. b-a B. a-b C. ba D. ab 18.已知,求、的值。 019.已知,求的值。20.,则 。21.如果,那么 。 6.倒数:乘积为1的两个数互为倒数。(1)注意:互为倒数的两个数乘积为1,而非-1;所以,正数的倒数为正数,负数的倒数为负数;0没有倒数。(2)互为倒数的两个数,乘积为1;反之,乘积为1,互为倒数。(3)倒数为本身的数有两个,1和-1.习题:1、倒数是它本身的数是;2、若、互为相反数,、互为倒数,有理数在数轴上的对应点到原点的距离为1,则代数式的值是 。二、有理数的运算(一)有理数的加减法1、有理数的加法(1)加法法则:a) 同号两数相加,符号不变,绝对值相加。b) 绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.c) 一个数同0相加,仍得这个数。(2)加法计算的步骤:先确定和的符号,再确定和的绝对值。 (3)加法运算律:加法交换律:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变。表达式:a+b=b+a。加法结合律:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加或者先把后两个数相加,和不变。表达式:(a+b)+c=a+(b+c) 加法结合律一般遵循:互为相反数的数结合;同分母(易通分)的数结合;和为整数(10、100、1000等数的倍数)的数结合;同号的数结合;具体情况,灵活运用。2、有理数的减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。表达式:a-b=a+(-b)减法法则,实现了变减法为加法。3、有理数的加减混合运算根据减法法则,变减法为加法,统一为加法运算。代数和:的加减法算式视为省略加号的几个有理数的和,称这个算式的结果为这几个有理数的代数和。化为代数和形式后,运算还要按照有理数的加法运算法则进行。去括号法则:括号前为正号,去括号后括号里各数不改变符号;括号前为负号,去括号后括号里各数改变符号;添括号法则:括号前添正号,添括号后括号里各数不改变符号;括号前添负号,添括号后括号里各数改变符号。(二)有理数的乘除法1、有理数的乘法:(1)有理数乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘,都得0. 乘法运算的步骤,与加法运算一样,先确定积的符号,再确定积的绝对值。(2)乘法运算律乘法交换律:有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等。表达式:ab=ba乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。表达式:(ab)c=a(bc) 结合律一般遵循:能约分的数结合;乘积为整数(10、100、1000的倍数)的数结合。乘法分配律:一个数同两个的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。表达式:a(b+c)=ab+ac(有时正用,有时逆用)(3)连乘法积的符号:几个非0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定:负因数为奇数个时,积为负数;负因数为偶数个数,积为正数。可先确定符号,再确定得数。2、有理数除法法则:(1)两数相除,同号得负,异号得正,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0.(2)除以一个不等于0的数,等于乘以一个数的倒数。化简分数时,任意改变分子、分母、分数的符号中的两个,分式的值不变;分数线可以看成除号。3、有理数乘除法混合运算:按从左到右的顺序进行,有括号的先算括号里面的。(三)有理数的乘方1、乘方:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。n个相同的因数a相乘,记做an中,a叫做底数,n叫做指数。根据有理数的乘法法则可以得出:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。注意(-a)n与-an的区别; an与(-a)n的关系:掌握1-20的数的平方,1-10数的立方。2、有理数的混合运算顺序(1)“先乘方,再乘除,最后加减”的顺序进行;(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。3、科学记数法:把一个大于10的数表示成a*10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数),叫做科学记数法。a:1a10; n:小数点移动的位数会用科学记数法表示数;会求科学记数法所表示的原数。4、近似数:与实际数有差别但是可以代表实际数的数。近似数通常通过四舍五入获得,用精确度表示近似数与实际数近似的程度。精确度(精确到的位数):个位、十位、百位、千位十分位(0.1)、百分位(0.01)、千分位(0.001)、万分位(0.0001)有效数字:从左边第一个非0数字起,到末位数字为止,所有数字都是这个数的有效数字。
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