,一、最大值最小值定理与有界性,二、零点定理与介值定理,四、小结 思考题,第八节 闭区间上连续,函数的性质,三、均衡价格的存在性,一、最大值和最小值定理与有界性,定义:,例如,定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,又如,函数,二、零点定理与介值定理,定义:,.,(,0,0,0,几何解释:,证,由零点定理,例1,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,证,大值M与最小值m，显然有,在 上连续，则函数 在 上有最,于是,即,（i）若 或 ，则可,取 或 ；,（ii）若 与 不同，由介值定理,可知，在 至少存在一点 ， 使,综合（i），（ii）可知，原命题得证,令 则 在 上连续，由于,证,故,若 ，可取 ；,若 ，可取 ；,若 则由定理2知，存在 使,注 这题结果称为不动点定理,，即有 ,例4,证,由零点定理,三、均衡价格的存在性,四、小结 思考题,四个定理,有界性与最值定理；根的存在性定理；介值定理；均衡价格的存在性定理.,注意条件1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,思考题,假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上山，晚上6点到达山顶，第二天上午8点从山顶沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什么？,思考题解答,会.,练 习 题,