,一、原函数与不定积分的概念,四、不定积分的性质,三、基本积分表,五、小结 思考题,第一节 不定积分的概念与性质,二、不定积分的几何意义,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,( primitive function ),定义,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,定理,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,不定积分(indefinite integral)的定义：,定义,原函数,例1 求,解,解,例2 求,例3 某商品的边际成本为 , 求总成,解,其中 为任意常数,本函数 .,二、不定积分的几何意义,显然，求不定积分得到一积分曲线族,横坐标 处,任一曲线的切线有相同的斜率.,0,x,y,在同一,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,三、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,例4 求积分,解,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,四、 不定积分的性质,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,化积分为代数和的积分,解,所求曲线方程为,基本积分表（1）（13）,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,五、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,