1,利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,2,复习:,2. 向量的夹角:,A,B,向量 的夹角记作:,1.空间向量的数量积:,3,4.向量的模长:,3.有关性质:,两非零向量,4,5.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使,5,推论:,6,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把与直线平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,7,2.平面的法向量,与平面垂直的向量叫做平面的法向量.,n,8,例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 直线OA的一个方向向量坐标为_ 平面OABC 的一个法向量坐标为_ 平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),9,10,11,：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,12,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z =1,解得:,得:,由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）,13,练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,14,二、立体几何中的向量方法 平行关系,15,m,l,一. 平行关系：,16,17,18,二、垂直关系：,l,m,19,l,A,B,C,20,21,例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,22,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， 求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,23,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,证明：,设平面EDB的法向量为,24,25,几何法呢？,26,几何法呢？,27,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间 直角坐标系，设AF=BE=b.,28,A,B,C,D,P,E,F,证1：如图所示建立 空间直角坐标系，设DC=1.,29,A,B,C,D,P,E,F,证2：,30,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,31,证明2：,E,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,求证：平面EBD,32,A,B,C,D,P,G,33,例4棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E 平面DBC1; (2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,34,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1,