1,习 题 课,2,一、主要内容,（一）函数的定义,（二）极限的概念,（三）连续的概念,3,函 数 的定义,函 数 的性质 奇偶性 单调性 有界性 周期性,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,（一）函数,4,1.函数的定义,函数的分类,2.函数的性质,有界、单调、奇偶、周期,3.反函数,4.隐函数,5.基本初等函数,幂、指、反、对、三,6.复合函数,7.初等函数,5,左右极限,极限存在的 充要条件,无穷大,两者的 关系,无穷小 的性质,极限的性质,求极限的常用方法,判定极限 存在的准则,两个重要 极限,无穷小的比较,等价无穷小 及其性质,唯一性,（二）极限,6,1、极限的定义：,单侧极限,2、无穷小与无穷大,无穷小；,无穷大；,无穷小与无穷大的关系,无穷小的运算性质,3、极限的性质,四则运算、复合函数的极限,极限存在的条件,7,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,夹逼定理、单调有界原理,8,6、两个重要极限,7、无穷小的比较,8、等价无穷小的替换性质,9、极限的唯一性、局部有界性、保号性,9,（三）连续,左右连续,连续的 充要条件,间断点定义,在区间a,b 上连续,连续函数的 运算性质,初等函数 的连续性,非初等函数 的连续性,连续函数 的 性 质,10,1、连续的定义,单侧连续,连续的充要条件,闭区间的连续性,2、间断点的定义,间断点的分类,第一类、第二类,3、初等函数的连续性,连续性的运算性质,反函数、复合函数的连续性,4、闭区间上连续函数的性质,最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理,11,二、典型例题,例1,解,利用函数表示法的无关特性,代入原方程得,代入上式得,12,解联立方程组,13,A、数列极限的求法,利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。,例5 求下列数列极限：,14,解,15,2、若通项中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 极限的方法。,对通项式有理化得,解,16,3、若所求极限是无穷项之和，通常先利用等差或等比数列的 前n项和公式求和，再求极限。,解,17,4、利用两边夹逼定理求数列极限，方法是将极限式中的每一项 放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。,解,18,例9 求下列极限：,解,19,五、函数极限的求法,函数的极限比数列的极限复杂，原因有两个，一是自变 量的变化过程多；二是函数式复杂；因此，求函数的极限首 先要观察自变量的变化和函数表达式，然后选择适当方法. 一般地，函数极限有以下几种求法：,20,解,21,例11 已知,解,22,23,解,解,24, 利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极 限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无 穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为 无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。,例14 求下列函数的极限：,解,25,(2) 利用无穷大量与无穷小量的关系求该极限。,常用等价无穷小:,26,解,27,解,28,例2 求下列极限,P59 5(2),29,30,P59 5(3),31,例3,解一,32,解二,例4,33,解,解法讨论,34,例5求极限,35,分析,要用夹逼定理，须进行放缩,不能这样用夹逼定理，,解,注意到分子成等差数列,36,37,例10 求下列极限,38,只记住了重要极限的形式，而没有掌握其实质,例11,39,解,因f(x)在x=0处为无穷间断，即,又x=1为可去间断，,40,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,P60 11 . 设函数,试确定常数 a 及 b .,41,P60 14. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,且对任意实数,证明: f (x) 对一切 x 都连续 .,42,上连续, 且 a c d b ,P60 16. 设,在,必有一点,证:,使,即,由介值定理,证明:,故,即,43,阅读与练习,1. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,44,2. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),45,3,解,46,47,例4,解,48,从而由等价无穷小的代换性质得,