江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生,大作业（2）,华长生制作,1,大作业(2),假设在大平原上有一只野兔和一只猎狗,在某一时刻 同时发现对方,野兔立即向洞穴跑去,而猎狗也立即向 野兔追去,在追击过程中,双方均全力奔跑,即双方速度 大小不变,方向可变,问:,(1) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,求猎狗的运动方程 和轨迹;,猎兔,华长生制作,2,(3) 若猎狗已处于问题(2)所述的范围G,则兔子在进洞 前肯定会被追上,那么兔子是否可以采取曲线跑向洞穴 (速度大小不变)而安全进入洞中?画出两者的运动轨迹;,(4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追 向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出 两者的运动轨迹.,(2) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,试确定猎狗的初始 位置范围G,使得猎狗在这一范围内，总可以在兔子进 洞前追上它;,华长生制作,3,一、问题的提出(略),二、问题的分析(略),三、模型假设,1.猎狗和兔子同时发现对方,并且同时启动全速奔跑;,2.猎狗和兔子的奔跑速度不变,即两者均匀速奔跑;,3.猎狗的速度比兔子要高;,4.猎狗和兔子可以瞬间达到最高速度;,华长生制作,4,四、模型建立,如图(1),华长生制作,5,同样猎狗在追击过程中满足,即,-(1),-(2),-(3),图(1),华长生制作,6,即,-(4),(3)式和(4)式即为兔子逃跑和猎狗追击时必须满足的方程组,由于兔子逃跑方向的不确定性,两个方程组都没有解析解,1. 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,如图(2)所示,华长生制作,7,由(1)式,再将其代入(4)式,-(5),图(2),华长生制作,8,用数值计算,Dograbbit.m,可得不同初值 (猎狗的初始位 置)时的相轨线 图象(图(3),与y轴的交叉点表示猎狗追上兔子,*号处为洞口位置,图中实际数据：,图(3),华长生制作,9,2. 野兔始终沿直线向洞穴时,猎狗的范围,如果兔子始终沿直线向洞穴跑去,可以想象,猎狗可以在兔子进洞前追上它,猎狗就不能在兔子进洞前追上它,华长生制作,10,我们仍假定兔子的初始为原点,洞穴在y轴上(如图(4),假设猎狗的初始位置满足,利用第一问的方法,模拟两者的运动,若兔子安全进洞,若猎狗追上兔子,且兔子离洞口尚远,图(4),华长生制作,11,直到猎狗追上兔子,且兔子也几乎到了洞口,如图(5)是一种典型的情况,且具备以下特点:,图(5),华长生制作,12,另外范围是否是椭圆没有得到论证,3.野兔采用曲线跑,能否避免被猎狗抓住,而兔子仍然直线跑向洞穴,则必然回被猎狗抓住,华长生制作,13,兔子可能安全炮回洞穴,图(6)是一种典型的情形,兔子初始位置为(0,0),猎狗初始位置为(10.2,4),洞穴位置为(0,10),红色线为兔子直线跑向洞穴时两者的线路,兰色线为兔子直线跑向洞穴时两者的线路,y,x=dograbbit2(10.2,4),y,x=dograbbit(10.2,4),华长生制作,14,图(6),兔子被抓住,兔子安全进洞,同样的初始位置,不同的结果,华长生制作,15,以上结果没有证明,只是数值计算的结果,兔子位置(0 ,10),猎狗位置( -0.0092, 9.9056),采用折线跑的结果为,但不管如何,兔子采用曲线跑是明智的,(4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追 向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出 两者的运动轨迹.(略),华长生制作,16,