1,人工智能Artificial Intelligence,主讲：鲍军鹏 博士 西安交通大学电信学院计算机系 电子邮箱： 版本：2.0 2010年1月,1,2,4.5 模糊推理,4.5.1 模糊理论 确定性概念可用普通集合表示。 设A是论域U上的一个集合，对于任意uU，令 则称CA(u)为集合A的特征函数。特征函数CA(u)在u=u0处的取值CA(u0)称为u0对A的隶属度。 集合A与其特征函数可以认为是等价的。 A=u|CA(u)=1,3,模糊集,用模糊集表示模糊性概念。 模糊集的思路： 把特征函数的取值范围从0,1推广到0,1上。 定义4.4 设U是论域，A是把任意uU映射为0,1上某个值的函数，即 A :U0,1或者uA(u) 则称A为定义在U上的一个隶属函数，由A(u)(uU)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，A(u)称为对A的隶属度。,4,模糊集的例子,例. 论域U=1,2,3,4,5，用模糊集表示“大”和“小”。 设A、B分别表示“大”与“小”的模糊集， A ，B分别为相应的隶属函数。 A=0,0,0.1,0.6,1 B=1,0.5,0.01,0,0 其中： A(1)=0,A(2)=0 ,A(3)=0.1 ,A(4)=0.6 ,A(5)=1 B(1)=1,B(2)=0.5 ,B(3)=0.01 ,B(4)=0,B(5)=0,5,模糊集的表示方法（1）,若论域离散且有限，则模糊集A可表示为： A=A(u1),A(u2),A(un) 也可写为： A=A(u1)/u1+A(u2)/u2+A(un)/un 或者： A=A(u1)/u1,A(u2)/u2,A(un)/un A=(A(u1),u1),(A(u2),u2),(A(un),un) 隶属度为0的元素可以不写。 例如： A=1/u1+0.7/u2+0/u3+0.4/u4 =1/u1+0.7/u2+0.4/u4,6,模糊集的表示方法（2）,若论域是连续的，则模糊集可用实函数表示。 例如： 以年龄为论域U=0,100， “年轻”和“年老”这两个概念可表示为：,7,模糊集的表示方法（3）,无论论域U有限还是无限，离散还是连续，扎德用如下记号作为模糊集A的一般表示形式: U上的全体模糊集，记为： F(U)=A|A:U0,1,8,模糊集的运算,模糊集上的运算主要有：包含、交、并、补等等。 1. 包含运算 定义4.5 设A，BF(U)，若对任意uU，都有 B(u)A(u) 成立，则称A包含B，记为 。 2. 交、并、补运算 定义4.6 设A，BF(U)，以下为扎德算子,9,模糊集运算举例,例. 设U=u1,u2,u3， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3 B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 则： AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 AB=(0.30.6)/u1+(0.80.4)/u2+(0.60.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3,10,模糊集运算举例,例. A表示“年老”的模糊集，B表示“年轻”的模糊集。 则：,11,模糊关系,定义4.7 Ai是Ui(i=1,2,n)上的模糊集，则称 为A1,A2,An的笛卡儿乘积，它是U1U2Un上的一个模糊集。 定义4.8 在U1U2Un上一个n元模糊关系R是指以U1U2Un为论域的一个模糊集，记为,12,模糊关系,一般地说，当U和V都是有限论域时，其模糊关系R可用一个模糊矩阵表示。 U=u1,u2,um V=v1,v2,vn 则UV上的模糊关系为,13,模糊关系举例,例. U=张三，李四，王五 V=篮球，排球，足球，乒乓球 UV上的一个模糊关系R,14,模糊关系的合成,定义4.9 设R1与R2分别是UV与VW上的两个模糊关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模糊关系，记为 R1R2 其隶属函数为,15,模糊关系合成举例,例.设论域U=V=a, b, c，论域W=x, y。R1是UV上的模糊关系，R2是VW上的模糊关系。求R1与R2的合成。 解：R1与R2的合成是： 合成法则类似于矩阵乘法。,16,模糊语言值,模糊语言值 大、很大、有些大、小、不太小 基本概念扩充法,17,模糊概念扩充法举例,例. 设U=1,2,10，已知： 大=0.2/4+0.4/5+0.6/6+0.8/7+1/8+1/9+1/10 小=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 解： 不大也不小=不大不小 =0.2/2+0.4/3+0.6/4+0.6/5+0.4/6+0.2/7 很大=大2(u) = 0.22/4+0.42/5+0.62/6+0.82/7+12/8+12/9+12/10 =0.04/4+0.16/5+0.36/6+0.64/7+1/8+1/9+1/10 有点大=大0.5(u) = 0.20.5/4+0.40.5/5+0.60.5/6+0.80.5/7+10.5/8+10.5/9+10.5/10 = 0.45/4+0.63/5+0.77/6+0.89/7+1/8+1/9+1/10,18,模糊逻辑,对多值逻辑的扩展 模糊逻辑运算,19,模糊命题,含有模糊概念、模糊数据或带有确信程度的语句称为模糊命题。它的一般表示形式为： xis A 或者xisA(CF) 例如：张三是（is）年轻的 模糊语言值是指表示大小、长短、高矮、轻重、快慢、多少等程度的一些词汇。 使用模糊语言值更符合人们表述问题的习惯。而其模糊集形式只是内部表示。,20,模糊知识,模糊产生式规则的一般形式是： IFETHENH(CF,) 其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的模糊结论；CF是该产生式规则所表示的知识的可信度因子，它既可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。是阈值，用以指出知识什么时候可被应用。CF和的值由领域专家在给出知识的时候同时给出。 例如： IFx1 is A1 AND x2 is A2 THEN y is B (CF,) 推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为 xisA 或者 xisA(CF),21,模糊匹配,不确定性匹配 X is A X is A 模糊集的匹配度（0,1） 贴近度,22,匹配度举例,例. 设论域U=甲, 乙, 丙, 丁, 戊，其上的两个模糊集分别为： A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊 B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊 求二者的匹配度。 解：用贴近度方法求二者匹配度。 即A和B两个模糊集之间的匹配度为0.9。,23,语义距离,如果论域U上两个模糊集A和B的语义距离为d(A,B)，则其匹配度为1-d(A,B)。 曼哈顿距离（Manhattan Distance）或者海明距离（Hamming Distance） 欧几里德距离（Euclidean Distance） 明可夫斯基距离（Minkowski Distance）,24,语义距离举例,例. 设论域U=甲, 乙, 丙, 丁, 戊，其上的两个模糊集分别为： A=0.1/甲+0.6/乙+1/丙+1/丁+0.3/戊 B=0.2/甲+0.8/乙+0.9/丙+1/丁+0.4/戊 求二者的匹配度。 解：方法一：用海明距离求二者匹配度。 所以A和B两个模糊集之间的匹配度为1-0.1=0.9。,25,其它相似度方法,最大最小法 算术平均法 几何平均法,26,复合条件的模糊匹配,第一步 分别计算各个子条件与其对应证据的匹配度match(Ai,Ai)，其中Ai和Ai分别表示一个子条件和其对应证据。 第二步 选择一种方法综合各个单一证据的匹配度，求出整个前提条件E与组合证据E之间总的匹配度。 取极小法 相乘法 第三步 检查总匹配度是否满足阈值条件。如果满足就可匹配；否则为不匹配。,27,模糊推理的基本模式,自然演绎有三种基本模式：假言推理、拒取式推理和假言三段论推理。模糊推理也有以上三种基本模式。 1. 模糊假言推理 设AF(U),BF(V)，并有AF(U)，BF(V)。 知识：IF x is A THEN y is B 证据：x is A - 结论：y is B 对于复合条件有： 知识：IF x1 is A1 AND x2 is A2 ANDAND xn is An THEN y is B 证据： x1 is A1 x2 is A2 xn is An - 结论：y is B,28,模糊推理的基本模式,2. 模糊拒取式推理 知识：IF x is A THEN y is B 证据：y is B - 结论：x is A 3. 模糊三段论推理 IF x is A THEN y is B IF y is B THEN z is C - IF x is A THEN z is C,29,模糊推理的方法,推理方法有多种，例如扎德等人的合成推理规则，P.Magrez和P.Smets提出的计算模型等。 扎德法的基本思想是： 首先由知识 IF x is A THEN y is B 求出A与B之间的模糊关系R； 然后在通过R与相应证据的合成求出模糊结论。 这种方法又称为基于模糊关系的合成模型。,30,4.5.2 简单模糊推理,知识中只含有简单条件且不带可信度因子的模糊推理称为简单模糊推理。 按照扎德等人提出的合成推理规则，对于知识： IF x is A THEN y is B 首先构造出A与B之间的模糊关系R，然后通过R与证据的合成求出结论。如果已知证据是 x is A 且A与A可以模糊匹配，则通过下述合成运算求取B： B=AR 如果已知证据是 y is B 且B与B可以模糊匹配，则通过下述合成运算求出A： A=RB,31,构造模糊关系R的方法,1. 扎德方法 扎德提出了两种方法：一种称为条件命题的极大极小规则；另一种称为条件命题的算术规则，由它们获得的模糊关系分别记为Rm和Ra。 设AF(U),BF(V)，其表示分别为 且用，分别表示模糊集的笛卡儿乘积、并、交、补及有界和运算，则扎德把Rm和Ra分别定义为：,32,对于模糊假言推理，若已知证据为 x is A 则： Bm=ARm Ba=ARa 对于模糊拒取式推理，若已知证据为 y is B 则： Am=RmB Aa=RaB,33,扎德法推理举例(1),例. 设论域U=V=金, 木, 水, 火, 土，其上的两个模糊集分别为： A=1/金+0.7/木+0.3/土 B=0.1/水+1/火+0.2/土 又已知模糊知识 IFxisATHENyisB 和证据x is A，其中A的模糊集为： A=0.8/金+1/木+0.4/土 请进行模糊推理，求出模糊结论。 解：则由模糊知识可分别得到Rm与Ra： Rm(i,j)=(A(ui)B(vj)(1-A(ui)，Ra(i,j)=1(1-A(ui)+B(vj),34,扎德法推理举例(2),然后由Rm和Ra及证据“x is A”可分别得到Bm和Ba： 由Rm方法推出的模糊结论是 0.4/金, 0.4/木, 0.4/水, 0.8/火, 0.4/土， 由Ra方法推出的模糊结论是 0.4/金, 0.4/木, 0.4/水, 1/火, 0.5/土。,35,麦姆德尼方法,麦姆德尼提出了一个称为条件命题的最小运算规则来构造模糊关