2020/9/6,1,计算方法,解线性方程组的直接方法,2020/9/6,2,第五章 解线性方程组的直接方法 5.1 引言,解线性方程组的两类方法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的 方法(不计舍入误差) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）,2020/9/6,3,n阶线性方程组,2020/9/6,4,2020/9/6,5,5.2 高斯消去法,转化为同解的方程组,2020/9/6,6,5.2.1 高斯消去法计算过程,2020/9/6,7,2020/9/6,8,2020/9/6,9,2020/9/6,10,2020/9/6,11,系数矩阵与常数项：,2020/9/6,12,回代过程:,2020/9/6,13,2020/9/6,14,消去第一列的 n-1 个系数要计算n*(n-1） 个乘法。,5.2.2 高斯消去法计算量,2020/9/6,15,每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk,5.2.3 矩阵的三角分解,2020/9/6,16,2020/9/6,17,依次递推,2020/9/6,18,定理7（矩阵的LU分解） 设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式 Di0（i=1，2，n-1），则A可分解为一个单位下 三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是 唯一的。,2020/9/6,19,2020/9/6,20,5.3 高斯主元素消去法,为避免此种情况的发生，可通过交换方程的次序，选取绝对值大的元素作主元。,5.3.1 列主元素消去法,2020/9/6,21,选取,或,2020/9/6,22,3,2020/9/6,23,2020/9/6,24,定理8（列主元素的三角分解定理） 如果A为非奇异 矩阵，则存在排列矩阵P使 PA=LU 其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。,2020/9/6,25,5.3.2 高斯若当消去法,2020/9/6,26,2020/9/6,27,本章作业,P176 7,2020/9/6,28,5.4 矩阵三角分解法5.4.1 直接三角分解法,将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元素 得到计算L,U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤， 这就是直接三角分解法。,由于A=LU，求解Ax=b的问题就等价于求解两个三角形方程组, Ly=b，求y；, Ux=y，求x.,2020/9/6,29,1、不选主元的三角分解法,A=LU,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵,（4.1）,2020/9/6,30,一、直接计算 A 的 LU 分解(例),2020/9/6,31,2020/9/6,32,二、一般计算公式,2020/9/6,33,三、LU 分解求解线性方程组,2020/9/6,34,矩阵A的直接分解法称为杜利特尔（Doolittle）分解,2020/9/6,35,例1：将方程组,的系数矩阵A作LU分解，并求方程组的解,2020/9/6,36,解,LU分解的紧凑格式为,2020/9/6,37,推出：,2020/9/6,38,由Ux=y，即,用回代法解得,即为线性方程组的解,2020/9/6,39,2、选主元的三角分解法,采用与列主元消去法类似的方法， 通过交换A的行实现矩阵PA的LU分解。,2020/9/6,40,本章作业,P177 8,