湖北省黄冈市麻城市实验高级中学2020届高三数学第六次模拟考试试题 文 时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 已知集合（ ） A. B. C. D.2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D.3. 已知，则（ ） A. B. C. D.4. 为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度某地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70% 2015 年 开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019 年度实施的扶贫项 目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱 贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 40%40%10%10%脱贫率 95%95%90%90% 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D.6.已知双曲线=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x，则双曲线的离心率是（ ） A B C D37.易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，易经的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响. 下图就是易经中记载的几何图形-八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10 m ，代表阴阳太极图的圆的半径为4 m ，则每块八卦田的面积约为（ ） （，）A114 m2 B. 57 m2 C. 54 m2 D. 48 m28.圆C：被直线截得的弦长的最小值为（ ） A.1 B.2 C. D.9.函数的图象可能是（ ） C D10.锐角ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ,若，则角C的大小为 （ ） A. B. C. D.11.若定义在 R 上的增函数 y = f (x - 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称， 且g(x) = f (x) - 1 ，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D.12如图,长方体中, 、分别为棱、的中 点直线与平面的交点,则的值为（ ） A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知平面向量a, b ，满足 ，则向量 的夹角为 .14.已知轴为曲线的切线，则的值为 15.已知且，若有最大值，则的取值范围是_16石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展，机器雕刻产品越来越多某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材（如图1）雕刻制作一件工艺品（如图2），该作品的上方是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的底面半径米，高米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分（分别称为圆柱A和圆柱B），要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗），然后将圆柱A切割打磨为一个球体，将圆柱B切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为_立方米。三、解答题：共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17（12分）设的内角所对的边分别为，若，且（1）求证：C，A，B成等差数列；（2）若的面积的最大值为，求外接圆的半径。18（12分）孔子曰：温故而知新.数学学科的学习也是如此.为了调查数学成绩与及时复习之间的关系，某校志愿者展开了积极的调查活动：从高三年级640名学生中按系统抽样抽取40名学生进行问卷调查，所得信息如下：数学成绩优秀（人数）数学成绩合格（人数）及时复习（人数）204不及时复习（人数）106（1）张军是640名学生中的一名，他被抽中进行问卷调查的概率是多少（用分数作答）；（2）根据以上数据，运用独立性检验的基本思想，研究数学成绩与及时复习的相关性.参考公式：，其中为样本容量临界值表：0.250.150.100.050.0250.0101.3232.0722.7063.8415.0246.63519（12分）如图，三棱锥中，侧面是边长为的正三角形，平面平面，把平面沿旋转至平面的位置，记点旋转后对应的点为（不在平面内），分别是，的中点。（1）求证：；（2）求三棱锥的体积的最大值。20（本题满分12分）已知椭圆过点,且椭圆的短轴长为.（）求椭圆C的方程；（）已知动直线l过右焦点F ，且与椭圆C分别交于M ,N 两点试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由。21.（本题满分12分）已知函数.（1） 当时，取得极值，求的值，并判断是极大值点还是极小值点；（2） 当函数有两个极值点，且时，总有成立，求 的取值范围。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 【选考4-4】：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线 C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，若直线 与曲线C相切。（1）求曲线C的极坐标方程；（2)在曲线C上取两点M，N与原点O构成，且满足，求面积的最大值。23. 【选考4-5】：不等式选讲（10分）已知，（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且，求证：答案1、 选择题：1-6：CADCCA 7-12:CBDDAA2、 填空题：13. 14. 15. 16. 16 【解析】因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，即米，要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值设由圆柱A打磨的球体半径为，则，即，所以当时，球的体积取得最大值，此时球体体积设下方的长方体的底面边长分别为，要使长方体的体积最大，长方体的高与圆柱B的高相等，此时其体积因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即由基本不等式可得，即，当且仅当时取等号，所以长方体体积的最大值为，所以所得工艺品的体积的最大值为（立方米）3、 解答题： 17（12分）【解析】（1）因为，且，所以，即，（2分）由正弦定理可得，即，再由余弦定理可得，因为，所以，（4分）又，所以，所以，所以C，A，B成等差数列（6分）（2）由（1）知，所以，当且仅当时取等号，所以，（8分）又的面积的最大值为，所以，解得，（10分）设外接圆的半径为，则，解得，所以外接圆的半径为（12分）18.解：（1）（2）由题可得如下列联表优秀合格合计及时复习20424不及时复习10616合计301040根据列联表中的数据，可得随机变量的观测值，因为，所以有的把握认为数学成绩与及时复习有关.19（12分）【解析】（1）如图，连接，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以（3分）因为为边长为的正三角形，所以，又，所以由勾股定理可得，又，所以为直角三角形，且，又，分别是，的中点，所以，所以（6分）（2）如图，连接，因为三棱锥与三棱锥为同一个三棱锥，且的面积为定值，所以当三棱锥的体积最大时，必有平面，（8分）此时点到平面的距离为，在中，因为，所以，（10分）所以的最大值为，所以三棱锥的体积的最大值为（12分）20.解：（）因为椭圆C过点，所以 又因为所以椭圆的方程为.（）假设在x轴上存在定点，使得.当直线的斜率不存在时，则.，由解得；当直线的斜率为0时，则,由解得 由可得，即点Q的坐标为.下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为0时，由知结论 成立.当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，由，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交,且 所以 综上所述，在x轴上存在定点，使得恒成立.21.解：（1）求得，从而 因为时，为增函数；时，为减函数； 所以为极大值点.（2） 函数的定义域为，有两个极值点，则在上有两个不相等的实根，所以，由，可得，从而问题转化为在且时成立.即成立，即 ，即，进而.令，则（）当时，则在上为增函数且，式不成立；（）当时，令，则 若，即时，所以在上为减函数且， 在区间和上同号，故式成立. 若，即时，的图象的对称轴，令，则时，不合题意.综上所述：满足题意.23.解：（1）当时，等价于，该不等式恒成立.当时，等价于，该不等式的解集为.当时，等价于，解得.综上所述，不等式的解集为.（2）证明：当时.当时取得最小值1.当时.所以的最小值为1，即因为，所以同理可得：所以