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3.1不等式与不等关系【教学目标】1知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质;2过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法;3情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。【教学重点】用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。【教学难点】用不等式(组)正确表示出不等关系。【教学过程】1.课题导入在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。2.讲授新课1)用不等式表示不等关系引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是用不等式组来表示问题1:设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点,则。问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?解:设杂志社的定价为x元,则销售的总收入为 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求,600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解:假设截得500 mm的钢管 x根,截得600mm的钢管y根。根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:3.随堂练习1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。2、课本P74的练习1、24.课时小结用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。5.作业课本P75习题3.1A组第4、5题(第2课时)【教学目标】1知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式;2过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法;3情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.【教学重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式;【教学难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。【教学过程】1.课题导入在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。请同学们回忆初中不等式的的基本性质。(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变;即若(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变;即若(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。即若2.讲授新课1、不等式的基本性质:师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?证明:1)(ac)(bc)ab0,acbc2), 实际上,我们还有,(证明:ab,bc,ab0,bc0根据两个正数的和仍是正数,得(ab)(bc)0,即ac0,ac于是,我们就得到了不等式的基本性质:(1)(2)(3)(4)2、探索研究思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:(1);(2);(3)。证明:1)ab,acbc cd,bcbd 由、得 acbd2)3)反证法)假设,则:若这都与矛盾, 范例讲解:例1、已知求证 。证明:以为,所以ab0,。于是 ,即由c0 ,得3.随堂练习11、课本P74的练习32、在以下各题的横线处适当的不等号:(1)()2 2;(2)()2 (1)2;(3) ;(4)当ab0时,loga logb答案:(1) (2) (3) (4) 补充例题例2、比较(a3)(a)与(a2)(a4)的大小。分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解:由题意可知:(a3)(a)(a2)(a4)(a22a1)(a22a)0(a3)(a)(a2)(a4)随堂练习21、 比较大小:(1)(x)(x)与(x)2(2)4.课时小结本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一些简单的不等式,还研究了如何比较两个实数(代数式)的大小作差法,其具体解题步骤可归纳为:第一步:作差并化简,其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式;第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论;第三步:得出结论5. 作业课本P75习题3.1A组第2、3题;B组第1题第 6 页 共 6 页
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