2020 初中数学中考专题复习四边形中的线段最值问题专项训练2（附答案详解） 1如图：在矩形ABCD 中， AB1BC3，P 为边 AD 上任意一点，连接 PB，则 PB+ 1 2 PD 的最小值为（） A 1 2+ 2 B2 C 3 D 3 2 2如图，在Rt ABC中， 90BAC ，45ACB， 2 2AB ，点 P为BC上 任意一点，连结 PA，以PA，PC为邻边作平行四边形 PAQC，连结PQ，则PQ的 最小值为（） A2B 2 C2 2D4 3如图，已知RtABC 中， BAC90 ，C30 ，AB 6，M 为边 BC 上的一个动 点， MEAB，MF AC，则 EF 的最小值为（） A6 B6 3 C3 3 D3 4如图，菱形ABCD 中， AB=2 ，A=120 ，点 P，Q，K 分别为线段BC ，CD， BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（） A1 B 3 C2 D 31 5如图，正方形ABCD 的边长为 3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的 最小值为（） A 2 3 B 13 C 14 D 15 6如图，在ABC中， 6AB，8AC，10BC，P为边BC上一动点，PEAB 于E， PFAC 于F，M为EF中点，则 AM的最小值为 ( ) A 5 2 B 24 5 C 12 5 D 5 4 7如图，在 RtABC 中， ACB 90 ，AC 4，BC6，点 E 是斜边 AB 上的一个动 点，连接CE，过点 B，C 分别作 BDCE，CDBE，BD 与 CD 相交于点 D （ 1）当 CEAB 时，求证：四边形BECD 是矩形； （ 2）填空： 当 BE 的长为 _时，四边形BECD 是菱形； 在的结论下， 若点 P 是 BC 上一动点， 连接 AP， EP，则 AP+EP 的最小值为 _ 8问题提出： （ 1） 如图 1， 在四边形 ABCD 中， ABBC， AD CD3， BAD BCD 90 ， ADC 60 ，则四边形ABCD 的面积为； 问题探究： （2）如图 2，在四边形ABCD 中，BAD BCD90，ABC135，AB2 2 ， BC3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得BEF的周长最小，并求出BEF的最 小周长； 问题解决： （ 3）如图 3，在四边形ABCD 中，AB BC2，CD10，ABC 150 ，BCD90 ， 则在四边形ABCD 中（包含其边沿）是否存在一点E，使得 AEC30 ，且使四边形 ABCE 的面积最大若存在，找出点E 的位置，并求出四边形ABCE 的最大面积；若 不存在，请说明理由 9 如图，在ABC 中，AB= 3 2 ， AC= 4 2 ， BC= 5 2 ， P 为边 BC 上一动点， PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为 _ 10如图， 在菱形 ABCD 中，AB=4 3，A=120 ，点 P，Q，K 分别为线段BC，CD， BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 _ 11如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点， 1,BEF为 AB的中点， P为AC上一个动点，则 PFPE的最小值是 _ 12如图，平行四边形ABCD中， 60B o， =12BC ， 10AB ，点 E 在 AD 上， 且 AE=4 ，点F是 AB 上一点，连接EF，将线段EF 绕点 E 逆时针旋转120 得到 EG， 连接 DG，则线段 DG 的最小值为 _ 13如图，菱形ABCD 的周长为 16 cm，ABC 60 ，E 是 AB 的中点，点P是 BD 上 的一动点，那么AP+PE 的最小值等于 _cm 14如图，ABBC，ADDC，70C o，在 BCCD、 上分别找一点MN、， 当 AMN 的周长最小时，AMNANM 的度数是 _ 15如图，在正方形ABCD 中， E 是 AB 上一点， BE2， AB8，P 是 AC 上一动点， 则 PB+PE 的最小值 _ 16如图，在ABC中，ABAC，4BC，12 ABC S，点 ,D E分别是,AB BC 的中点，点F在AC上，且FDAB.若点P为线段 DF上一动点，连接 ,BP EP，则 BPE周长的最小值是 _ 17如图，等边 ABC 的边长为2，过点 B 的直线lAB且ABC 与A BC关于直 线 l 对称， D 为线段 BC 上一动点，则AD+CD 的最小值是 _. 18如图， 菱形ABCD 的边长是 6，A60 ，E是 AD的中点，F是AB边上一个动点， EGEF 且GEF60 ，则 GB+GC 的最小值是 _ 19如图， 矩形 ABCD 中，AB=20 ，AD=30 ，点 E，F 分别是 AB，BC 边上的两个动点， 且 EF=10，点 G 为 EF 的中点，点H 为 AD 边上一动点，连接CH、GH，则 GH+CH 的 最小值为 _. 20正方形ABCD的边长为4,P为正方形内任意一点，连接PA、PB、 PD,PAPBPD的最小值为 _. 参考答案 1C 【解析】 【分析】 连接 BD，根据矩形ABCD 中， AB DC1BC 3，可得 tanDBC 3 3 ，得 DBC 30 ， 作DBN DBC30 ， 过点 D 作 DMBN 于点 M， BN 交 AD 于点 P， 此时 BP+ 1 2 PD BP+PM 最小，最小值为BM 的长 【详解】 连接 BD， 在矩形 ABCD 中， ABDC1，BC 3， tanDBC DC BC 3 3 ， DBC30 作 DBNDBC 30 ， 过点 D 作 DMBN 于点 M，BN 交 AD 于点 P MDB60 ， ADBC PDBDBC30 ， MDP30 ， PM 1 2 PD， 此时， BP+ 1 2 PD 的最小值 BP+PM=BM， MBDCBD，BMDC90 ，BDBD BMD BCD（AAS） ， BMBC3， 答： PB+ 1 2 PD 的最小值为3 故选： C 【点睛】 本题主要考查矩形的性质与含30 角的直角三角形的性质以及特殊角的三角函数，添加辅助 线，把 PB+ 1 2 PD 的最小值化为BM 的长，是解题的关键 2A 【解析】 【分析】 设 PQ 与 AC 交于点 O，作OPBC于 P ，首先求出 OP ，当 P 与 P 重合时， PQ 的值最 小， PQ 的最小值 =2OP 【详解】 设PQ与 AC 交于点 O，作OPBC于P，如图所示： 在 RtABC 中， BAC=90，ACB=45， 2 2ABAC ， 四边形 PAQC 是平行四边形， 1 2 2 OAOCAC， OPBC，ACB=45， 2 sin 4521 2 OPOCnn， 当P与P重合时， OP 的值最小，则PQ 的值最小， PQ 的最小值22OP 故选： A 【点睛】 本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求 线段的最小值是解题的关键 3C 【解析】 【分析】 根据已知得出四边形AEMF 是矩形，得出EFAM，要使 EF 最小，只要AM 最小即可，根 据垂线段最短得出即可 【详解】 解： BAC90 ，MEAB，MF AC， A AEPAFP90 ， 四边形 AEMF 是矩形， EFAM， 要使 EF 最小，只要AM 最小即可， 过 A 作 AMBC 于 M，此时 AM 最小， 在 RtABC 中， BAC90 ，C30 ，AB6， AM 3 2 AB3 3， 即 EF 3 3 故选： C 【点睛】 本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、 垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时， EF 最短 . 4B 【解析】 【分析】 先根据四边形ABCD 是菱形可知， AD BC，由 A=120 可知 B=60 ，作点 P 关于直线 BD 的对称点P ，连接 PQ ， PC，则 PQ的长即为 PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与 点 C 重合， CP AB 时 PK+QK 的值最小，再在RtBCP 中利用锐角三角函数的定义求出 PC的长即可 【详解】 解： 四边形 ABCD 是菱形， AD BC， A=120 ， B=180 -A=180 -120 =60 ， 作点 P 关于直线BD 的对称点 P ，连接 PQ ，PC ，则 PQ的长即为 PK+QK 的最小值，由图 可知，当点Q 与点 C 重合， CP AB 时 PK+QK 的值最小， 在 RtBCP 中， BC=AB=2 ，B=60 ， 3 sin23 2 P QCPBCB 故选 B 【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角 形是解答此题的关键 5B 【解析】 【分析】 要求 PE+PC 的最小值， PE，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC 的值，从而 找出其最小值求解 【详解】 如图，连接AE， 因为点 C 关于 BD 的对称点为点A， 所以 PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE 就是 AP+PE 的最小值， 正方形 ABCD 的边长为3，BE=2， AE= 22 23 = 13， PE+PC 的最小值是 13 故选： B 【点睛】 此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用根据已知得出两点之 间线段最短可得AE 就是 AP+PE 的最小值是解题关键 6C 【解析】 【分析】 根据勾股定理的逆定理可以证明 BAC=90 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，则 AM= 1 2 EF，要求 AM 的最小值，即求EF 的最小值；根据三个角都是直角的四边形 是矩形得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP ，则 EF 的最小值即为 AP 的最小值，根据垂线段最短知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高 【详解】 解： 在ABC 中， AB=6 ，AC=8 ，BC=10， AB 2+AC2=BC2， 即 BAC=90 又 PEAB 于 E，PFAC 于 F， 四边形 AEPF 是矩形， EF=AP M 是 EF 的中点， AM= 1 2 EF= 1 2 AP, 因为 AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高 AP= 6824 105 , AM 的最小值是 12 5 故选 C 【点睛】 此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质能够把要求的 线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段是解决问题的关键 7 （ 1）证明见解析； （2） 13；35 【解析】 【分析】 （1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解； 根据对称性：连接ED 交 BC 于点 P，此时 AP+EPAD ，最小，再过点D 作 DF 垂直 AC 的延长线于点F，根据勾股定理即可求解 【详解】 如图所示： （1）BDCE， CDBE， 四边形 BDCE 是平行四边形， CEAB ， BEC90 ， 四边形 BECD 是矩形； （2）当 BE 的长为 13时，四边形 BECD 是菱形理由如下： 连接 ED，与 BC 交于点 O， 四边形 BDCE 是平行四边形， 当 BC 和 DE 互相垂直平分时，四边形BDCE 是菱形， BO 1 2 BC3，OE 1 2 AC2， 根据勾股定理，得 BE 22 BOEO 9413 故答案为 13 连接 AD ，与 BC 交于点 P，连接 PE， 此时 PDPE，AP+EP 最小， AP+PE AP+PD AD ， 过点 D 作