第二十一章一元二次方程211一元二次方程1通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bxc0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别活动1复习旧知1什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式(1)2x1(2)mxn0(3)10(4)x213下列哪个实数是方程2x13的解？并给出方程的解的概念A0B1C2D3活动2探究新知根据题意列方程1教材第2页问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程2教材第2页问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念1一元二次方程：只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_，这样的_方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式是ax2bxc0(a0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a0，b，c可以为0吗？(3)2x2x10的一次项系数是1吗？为什么？3一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是_(1)4x281；(2)2x213y；(3)2；(4)2x22x(x7)0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程例2教材第3页例题例3以2为根的一元二次方程是()Ax22x10 Bx2x20Cx2x20 Dx2x20总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等练习：1若(a1)x23ax10是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是_2将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项(1)4x281；(2)(3x2)(x1)8x3.3教材第4页练习第2题4若4是关于x的一元二次方程2x27xk0的一个根，则k的值为_答案：1.a1；2.略；3.略；4.k4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第17题.21.2解一元二次方程212.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2c0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(exf)2c0型的一元二次方程重点运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程，领会降次转化的数学思想难点通过根据平方根的意义解形如x2n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1：填空(1)x28x_(x_)2；(2)9x212x_(3x_)2；(3)x2px_(x_)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)()2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x29，根据平方根的意义，直接开平方得x3，如果x换元为2t1，即(2t1)29，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t1变为上面的x，那么2t13即2t13，2t13方程的两根为t11，t22例1解方程：(1)x24x41(2)x26x92分析：(1)x24x4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x2)21.(2)由已知，得：(x3)22直接开平方，得：x3即x3，x3所以，方程的两根x13，x23解：略例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是1010x10(1x)；二年后人均住房面积就应该是10(1x)10(1x)x10(1x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1x)214.4(1x)21.44直接开平方，得1x1.2即1x1.2，1x1.2所以，方程的两根是x10.220%，x22.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x22.2应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材第6页练习四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2p(p0)的方程，那么x转化为应用直接开平方法解形如(mxn)2p(p0)的方程，那么mxn，达到降次转化之目的若p0则方程无解五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接化成x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如x26x160的一元二次方程的解题步骤难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x215(2)4(x1)290(3)4x216x169(4)4x216x7老师点评：上面的方程都能化成x2p或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得x或mxn(p0)如：4x216x16(2x4)2，你能把4x216x7化成(2x4)29吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x26x160移项x26x16两边加(6/2)2使左边配成x22bxb2的形式x26x32169左边写成平方形式(x3)225降次x35即x35或x35解一次方程x12，x28可以验证：x12，x28都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例1用配方法解下列关于x的方程：(1)x28x10(2)x22x0三、巩固练习教材第9页练习1，2.(1)(2)四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程五、作业 教材第17页复习巩固2，3.(1)(2)第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x24x70(2)2x28x10老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(xp)2q的形式，如果q0，方程的根是xp；如果q0，方程无实根例1解下列方程：(1)2x213x(2)3x26x40(3)(1x)22(1x)40分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式解：略三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1配方