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【精品】高一数学 2.5指数(备课资料) 大纲人教版必修备课资料一、n次方根的定义n次方根的定义是平方根,立方根定义的推广,根式记号是平方根、立方根记号的推广.对比平方根、立方根概念,不难知道:在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,零的奇次方根是零,设aR,n是大于1的奇数,则a的n次方根是.在实数范围内,正数的偶次方根是两个绝对值相等,符号相反的数,零的偶次方根是零,负数的偶次方根没有意义.设a0,n是大于1的偶数,则a的n次方根是.二.开方与乘方求a的n次方根的运算称为开方运算,开方运算与乘方运算是互逆的运算,不要与乘方运算相混.如求3的四次方,结果是34=81.而求3的四次方根,结果为.对于根式记号,要注意以下几点:nN,且n1.当n为大于1的奇数时,对任意aR都有意义,它表示a在实数范围内惟一的一个n次方根,()n=a.当n为大于1的偶数时,只有当a0时有意义,当a0时无意义. (a0)表示a在实数范围内的一个n次方根,另一个是-,()n=a.式子对任意aR都有意义.当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|=.备课资料一、根式、分数指数幂运算的注意事项1.利用指数幂的意义及运算性质,一般将根式转化为分数指数幂运算.2.在根式运算中,常出现开方与乘方并存的情况,要特别注意两者的顺序何时可以交换,何时不能交换,否则就会产生误解:如:,但()2,这里()2在实数范围内没有意义.3.分数指数幂严格规定了运算顺序,当a0时,a,不得交换m、n的次序,同时必须注意幂指数不能随意约分,否则就会出错.如:(4)2,而(4)在实数范围内无意义.二、参考练习题例计算下列各式:(1)0.251()(6)10(2)1()16(2)(a)3(3) (4)解:(1)原式()1()()(3102)(24)410(2)1024201010212(2)原式(aa)3b4(a2)ab2(b2a)a1b0(3)原式.(4)原式()(2)(2)220评述:形如 (a0,b0) 的根式称为复合根式,当满足xy0,xya,xyb时,则.备课资料参考例题例1化简分析:化简这类式子,一般有两个方法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.解:原式+1.评述:对于这类问题,如果采用负指数幂的定义把负指数化为正指数的方法,则式子将变为繁分式,这样化简起来比较复杂,所以一般采用分式的基本性质,即分子、分母都乘以同一个式子的方法把负指数化为正指数,用这种方法相对简单一些.例2比较,的大小.分析:这个问题实际上要比较:6,15与219的大小,由于它们的指数与底数都不相同,所以可以考虑将它们的指数或底数统一起来.解:6(63)21615(15)225219而216219225所以216219225即评述:对于底数与指数都不相同的式子,比较大小时一般都是考虑将底数或指数中的一个统一起来,这样便于比较大小.例3已知xx3,求的值.分析:解决这个问题的关键是找到已知条件与所求式子的关系.解:由xx3两边平方得:xx17再平方得:x2x247然后对式子xx3两边立方得:xx3(xx)27即xx18所以评述:在指数式的运算性质中,要注意指数的范围不同,底数的范围也不同.例4已知x0,y0,且()3(5)求:的值.解:由已知x0,y0且()3(5)得x315y即x15y20,2150.解得:5即5,x25y.所以2.例5已知a0,a2x3,求:的值.解:a0,a2x3,ax.ax,a3x3,a3x.评述:此题解决的关键是恰当寻求已知与所求之间的内在联系.找到a2x与a3x,a3x之间的桥梁ax,ax,使问题得以解决.备课资料参考例题例1计算(1) (2) 解析:对于分数指数幂的运算只要按照分数指数的运算法则进行运算即可,而对于根式的运算,因为我们没有学过根式的运算性质,所以根式的运算一般都要转化为指数式来进行.解:(1) 2(2) 评述:根式的运算都要首先化成分数指数幂的形式,然后再利用分数指数幂的运算性质进行运算,但结果既可以是分数指数幂的形式,也可以是根式的形式.例2化简 分析:这个式子包含三个根式,在化为指数式时要注意层次分明.解:原式=评述:对于多重根式,化简时首先要注意它的层次性,其次若最后结果是分数指数,则一般要写成根式的形式.例3根据下列条件求值(1)已知3,求的值;(2)已知a2x1,求的值.解:(1)由3两边平方得xx-17,两边再平方得x2x-247,又3(71)18.原式.(2)由已知得a-2x原式a2xa-2x121评述:(1)本题是用整体思想解题,用乘法公式对解析式变形化简后,从整体上寻求已知条件与结论的联系.(2)指数的概念扩充后,初中所学的乘法公式和因式分解的变形技巧同样可用.(3)若题从已知条件解出a或ax的值,再代入求值,则会造成运算复杂.(4)应从题目适当变化中体会解题方法的灵活性.如:已知4,x,yb3,求的值.答案:87 / 7
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